伽馬貝塔函數

在數理方程、機率論等學科經常遇到以下的含參變數的積分

           ， 

它們依次為第一類和第二類歐拉（Euler 1707~1783 瑞士數學家）積分，或依次稱為貝塔（Bata）函數和伽馬（Gamma）函數，這一節主要討論這兩個函數的若干性質。

 11.3.1  伽馬函數

顯然，我們應首先考慮伽馬函數

                                                   （3.1）

的收斂問題。式（3.1）右端的積分不僅是一個無窮積分，而且當時，還是被積函數的一個瑕點。為此我們把它拆成兩個積分。

                    和 

注意到是以為瑕點的瑕積分，且注意到

                                

而在時是收斂的，所以也收斂（）。又因為，有                              

所以，，當時，有

                                 

這說明積分                      

對雩都是收斂的，總之當，積分和同時收斂，所以積分

                                   

在收斂，從而伽馬函數在有定義。

在任何上一致收斂。事實上，。

對，，而收斂，由判別法，關於在一致收斂。

對，，而收斂，由判別法，關於在一致收斂。

由的任意性及連續概念的局部性知，伽馬函數在是連續的。

下面還可以進一步證明伽馬函數的可微性，即當時各階導數都存在，並且可由在積分號下求導得到，即

                                      （3.2）

事實上採用證明連續性時同樣的方法，可證瑕積分

與無窮積分

關於在上一致收斂，這裡且為任意正數。從而再由定理2.5和定理2.9推知式（3.2）成立。

當時，利用分部積分公式，有

       

即伽馬函數有遞推關係

                    （3.3）

反覆運用式（3.3），得

                      （3.4）

公式（3.3）、（3.4）可用於逐步減小自變數的值，直到它不超過1；即伽馬函數對任意的自變數值的計算，都可化為對的值的計算。

在式（3.4）中，取，並注意

                    

就得到

                                

這個式子說明伽馬函數是階乘的推廣。這就是說，把本來只對自然數有意義的函數推廣到對一切正數都有意義了。

 

11.3.2       貝塔函數

對於貝塔函數

                    （3.5）

採用上一小節同樣方法，可證明在地區連續。

如果在式（3.5）的右端積分中作替換，我們有

        

即                                                      （3.6）

這說明貝塔函數關於具有對稱性。

貝塔函數還有如下遞推公式

                                    （3.7）

事實上，由分部積分

           

                          

                          

                          

                          

                          

移項解出，便得到所要證明的式（3.7）。

如果在式（3.5）中作替換，則得

                                         （3.8）

反覆運用公式（3.7），有

                

                      

從而          

可見                          

從上式可看到貝塔函數與伽馬函數之間的聯絡，但上述等式僅限於取非負的整數方能成立，限制公式的應用價值，我們當然希望把它能夠推廣到和 的整個定義範圍內，這正是下一節討論的內容。

 11.3.3  貝塔函數與伽馬函數之間的聯絡

定理3.1  設，則

                                                （3.9）

證： 在積分

                          

中作代換，則有

所以                

                                              （3.10）

其中為正方形。作半徑分別為和，圓心在原點的圓域和（圖3.1），則由於式（3.10）中積分的被積函數為非負的，所以有

                          

但在積分 

中作極座標替換，得

                    

                        

                                 （利用式（3.8））

                        

                                     （這裡）

所以    

                                   

同理，可求

                            

從而根據式（3.11），有

                  

代入式（3.10），得

                

即                             

式（3.9）得證。

例 3.2 證明  

證： 由於                 

作替換，有

      

又當時，，當時，，所以

         

    例3.3  利用等式    證明 

證： 由貝塔函數與伽馬函數的關係式（3.9）及例3.1，有

          

                         

                         

例 3.4  利用歐拉積分計算積分

                        

解： 令，有

，  ，  

  

並且當時；當時。從而

                    

                        =

                        =

                        =

                        =

                        =