高斯消元法 & 高斯-約當 (Gauss-Jordan) 消元法

高斯消元法 & 高斯-約當 (Gauss-Jordan) 消元法  

2010-05-24 18:02:10|  分類：控制理論
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高斯消元法是求解線性方程組的常用方法，高斯約當消元法大家可能不是很熟悉。下面先介紹線性方程組和矩陣的一些基本概念與高斯消元法，然後著重介紹高斯約當消元法相對於高斯消元法的優勢：程式簡單（不需要回代），應用廣泛（例如求矩陣的逆），易於判斷處理特殊情況（有無窮多解的情況）。

　　這是一個線性方程組：

　　把方程組中的係數矩陣
和結果向量
共置，得到下面的增廣矩陣：

　　高斯消元法的基本方法是使用加減消元，依次選定每一個未知數
，利用增廣矩陣的其中一行消去尚未利用的其他行中出現的
，最終利用回代過程求得方程組的解。為了減小誤差，每次都應選擇
的係數絕對值最大的一行。

　　高斯消元法實現時有一些不易處理的問題：
　　1.回代過程：雖然公式並不複雜，可是編程時代入消元和加減消元並用，對於初學者（比如我）依然是一個不小的障礙。
　　2.自由變數：如果消元過程中存在自由變數，必須立刻賦值，否則無法繼續。這樣求出的是一組特解，難以求出其他變數與自由變數的函數關係。
　　3.交換兩行：處理時需要反覆交換原矩陣的兩行，給調試工作帶來困難。
　　
　　高斯約當消元法解決了這些問題。與高斯消元法不同的是，每次消去時把當前等式中
的係數化為
，同時不僅消去尚未利用的行中出現的
，也消去已利用的行中出現的
。這樣在消元完成後不需要回代過程，方程組中每一行都是
的形式。同時由於不需要回代過程，方程組中各個未知數的消元順序不再那麼嚴格，因此我們可以把“選擇行主元”變成“選擇列主元”，也就是依次選定每一個方程，從中選擇係數絕對值最大的
來消元。這樣方程可以依次處理，自由變數在消元完成之前不會出現。若出現“無元可消”，只有兩種情況：
和
，前者直接忽略，後者直接無解。