高斯模糊的演算法

From: http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/11/gaussian_blur.html

通常，影像處理軟體會提供"模糊"（blur）濾鏡，使圖片產生模糊的效果。

"模糊"的演算法有很多種，其中有一種叫做"高斯模糊"（Gaussian Blur）。它將常態分佈（又名"高斯分布"）用於影像處理。

本文介紹"高斯模糊"的演算法，你會看到這是一個非常簡單易懂的演算法。本質上，它是一種資料平滑技術（data smoothing），適用於多個場合，影像處理恰好提供了一個直觀的應用執行個體。

一、高斯模糊的原理

所謂"模糊"，可以理解成每一個像素都取周邊像素的平均值。

中，2是中間點，周邊點都是1。

"中間點"取"周圍點"的平均值，就會變成1。在數值上，這是一種"平滑化"。在圖形上，就相當於產生"模糊"效果，"中間點"失去細節。

顯然，計算平均值時，取值範圍越大，"模糊效果"越強烈。

上面分別是原圖、模糊半徑3像素、模糊半徑10像素的效果。模糊半徑越大，映像就越模糊。從數值角度看，就是數值越平滑。

接下來的問題就是，既然每個點都要取周邊像素的平均值，那麼應該如何分配權重呢？

如果使用簡單平均，顯然不是很合理，因為映像都是連續的，越靠近的點關係越密切，越遠離的點關係越疏遠。因此，加權平均更合理，距離越近的點權重越大，距離越遠的點權重越小。

二、常態分佈的權重

常態分佈顯然是一種可取的權重分配模式。

在圖形上，常態分佈是一種鐘形曲線，越接近中心，取值越大，越遠離中心，取值越小。

計算平均值的時候，我們只需要將"中心點"作為原點，其他點按照其在正態曲線上的位置，分配權重，就可以得到一個加權平均值。

三、高斯函數

上面的常態分佈是一維的，映像都是二維的，所以我們需要二維的常態分佈。

常態分佈的密度函數叫做"高斯函數"（Gaussian function）。它的一維形式是：

其中，μ是x的均值，σ是x的方差。因為計算平均值的時候，中心點就是原點，所以μ等於0。

根據一維高斯函數，可以推導得到二維高斯函數：

有了這個函數 ，就可以計算每個點的權重了。

四、權重矩陣

假定中心點的座標是（0,0），那麼距離它最近的8個點的座標如下：

更遠的點以此類推。

為了計算權重矩陣，需要設定σ的值。假定σ=1.5，則模糊半徑為1的權重矩陣如下：

這9個點的權重總和等於0.4787147，如果只計算這9個點的加權平均，還必須讓它們的權重之和等於1，因此上面9個值還要分別除以0.4787147，得到最終的權重矩陣。

五、計算高斯模糊

有了權重矩陣，就可以計算高斯模糊的值了。

假設現有9個像素點，灰階值（0-255）如下：

每個點乘以自己的權重值：

得到

將這9個值加起來，就是中心點的高斯模糊的值。

對所有點重複這個過程，就得到了高斯模糊後的映像。如果原圖是彩色圖片，可以對RGB三個通道分別做高斯模糊。

六、邊界點的處理

如果一個點處於邊界，周邊沒有足夠的點，怎麼辦？

一個變通方法，就是把已有的點拷貝到另一面的對應位置，類比出完整的矩陣。

七、參考文獻

* How to program a Gaussian Blur without using 3rd party libraries