全排列產生演算法

參考連結: 全排列產生演算法（一）

原文講的很詳細了，為了完整性，這裡粘貼的參考連結中大部分文字，並且在原文的基礎上，添加了“給定某個排列，求其字典序中上一個元素”的演算法。
字典序

全排列產生演算法的一個重要思路，就是將集合A中的元素的排列，與某種順序建立一一映射的關係，按照這種順序，將集合的所有排列全部輸出。這種順序需要保證，既可以輸出全部的排列，又不能重複輸出某種排列，或者迴圈輸出一部分排列。字典序就是用此種思想輸出全排列的一種方式。這裡以A{1,2,3,4}來說明用字典序輸出全排列的方法。

首先，對於集合A的某種排列所形成的序列，字典序是比較序列大小的一種方式。以A{1,2,3,4}為例，其所形成的排列1234<1243，比較的方法是從前到後依次比較兩個序列的對應元素，如果當前位置對應元素相同，則繼續比較下一個位置，直到第一個元素不同的位置為止，元素值大的元素在字典序中就大於元素值小的元素。上面的a1[1...4]=1234和a2[1...4]=1243，對於i=1,i=2，兩序列的對應元素相等，但是當i=2時，有a1[2]=3<a2[2]=4，所以1234<1243。

求字典序的下一個全排列：使用字典序輸出全排列的思路是，首先輸出字典序最小的排列，然後輸出字典序次小的排列，……，最後輸出字典序最大的排列 。這裡就涉及到一個問題，對於一個已知排列，如何求出其字典序中的下一個排列 。這裡給出演算法。

• 對於排列a[1...n]，找到所有滿足a[k]<a[k+1](0<k<n-1)的k的最大值，如果這樣的k不存在，則說明當前排列已經是a的所有排列中字典序最大者，所有排列輸出完畢。
• 在a[k+1...n]中，尋找滿足這樣條件的元素l，使得在所有a[l]>a[k]的元素中，a[l]取得最小值。也就是說a[l]>a[k]，但是小於所有其他大於a[k]的元素。
• 交換a[l]與a[k].
• 對於a[k+1...n]，反轉該區間內元素的順序。也就是說a[k+1]與a[n]交換，a[k+2]與a[n-1]交換，……，這樣就得到了a[1...n]在字典序中的下一個排列。

這裡我們以排列a[1.. .8]=13876542為例，來解釋一下上述演算法。首先我們發現，1(38)76542，括弧位置是第一處滿足a[k]<a[k+1]的位置，此時k=2 。所以我們在a[3...8]的區間內尋找比a[2]=3大的最小元素，找到a[7]=4滿足條件，交換a[2]和a[7]得到新排列14876532，對於此排列的3～8區間，反轉該區間的元素，將a[3]-a[8]，a[4]-a[7]，a[5]-a[6]分別交換，就得到了13876542字典序的下一個元素14235678 。
求字典序的上一個全排列：從前面的的分析，我們可以進行逆推導，求得上一個排列，這裡的演算法如下：1. 對於排列a[1..n],從尾端開始，找到第一個a[k]>a[k+1]並記錄，若k<0，則說明a已經是字典序的最小者。2. 在a[k+1..n]中，尋找小於a[k]的最大元素a[i]，3. 交換a[k]和a[i]的值，4. 對於a[k+1..n]，反轉區間內元素的順序。這裡我們還是以前面的例子來說明，初始時，a=14235678，首先找到1(42)35678，此時k=2，再找到比4小的最大數是3，此時a[i]=3, i=4, 交換a[i]和a[k]的值，得到a=13245678，最後反轉a[k+1..n]，得到最後的結果a=13876542。
C代碼如下：

/*http://t.jobdu.com/thread-98707-1-1.html1、寫出一個演算法來產生1-n的全排列2、已知一個長度為N的序列A，它的每個元素是1-N之間的任何一個元素，且兩兩不重複，稱他為一個排列，寫出一個演算法產生該排列的字典序的下一排列。例如，A=[3 2 1 4]，則下一排列為A'=[3 2 4 1]，A'的下一排列為A''=[3 4 1 2]，以此類推。http://blog.csdn.net/joylnwang/article/details/7064115*/#include <stdio.h>void swap(char* array, unsigned int i, unsigned int j){    char t = array[i];    array[i] = array[j];    array[j] = t;}// 遞迴輸出序列的全排列void fullPermutation(char* arr, int len, int index){    int i;    if (index >= len)        printf("%s\n", arr);    else    {        for (i = index; i < len; i++)        {            swap(arr, index, i);            fullPermutation(arr, len, index+1);            swap(arr, index, i);        }    }}void reverse(char arr[], int start, int end){    if (start >= end)        return;    int len = start - end + 1;    int i;    for (i = 0; i <= len/2; i++)    {        swap(arr, start+i, end-i);    }}int pre_permutation(char arr[], int len){    int k, i, max, max_i;    for (i = len-2; i >= 0; i--)    {        if (arr[i] > arr[i+1])        {            k = i;            break;        }    }    if (i < 0)    {        printf("%s is the first permutation\n", arr);        return -1;    }    max_i = k + 1;    max = arr[max_i];    for (i = k+1; i < len; i++)    {        if (arr[i] < arr[k] && arr[i] > max)        {            max_i = i;            max = arr[max_i];        }    }    if (max_i < len)    {        swap(arr, k, max_i);        reverse(arr, k+1, len-1);    }    return 0;}int next_permutation(char arr[], int len){    int k, i, min, min_i;    for (k = len-2; k >= 0; k--)    {        if (arr[k] < arr[k+1])            break;    }    if (k < 0)    {        printf("%s is the last permutation\n", arr);        return -1;    }    min = arr[k+1];    min_i = k+1;    for (i = k + 1; i < len; i++)    {        if (arr[i] > arr[k] && arr[i] < min)        {            min_i = i;            min = arr[i];        }    }    if (min_i < len)    {        swap(arr, k, min_i);        reverse(arr, k+1, len-1);    }    return 0;}int main(){    int i = 1;    char arr[] = "1234";    int len = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]) - 1;    //fullPermutation(arr, len, 0); // 遞迴列印全排列    // 按照字典序輸出全排列    printf("next_permutation demo:\n");    do    {        printf("%02d: %s\n", i, arr);        i++;    } while (next_permutation(arr, len) >= 0);    i = 1;    printf("\npre_permutation demo:\n");    do    {        printf("%02d: %s\n", i, arr);        i++;    }    while (pre_permutation(arr, len) >= 0);    return 0;}