線段樹入門

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轉自Hao的部落格http://chhaj5236.blog.163.com/blog/static/11288108120099128044145/

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把問題簡化一下：

在自然數，且所有的數不大於30000的範圍內討論一個問題：現在已知n條線段，把端點依次輸入告訴你，然後有m個詢問，每個詢問輸入一個點，要求這個點在多少條線段上出現過；

最基本的解法當然就是讀一個點，就把所有線段比一下，看看在不線上段中；

每次詢問都要把n條線段查一次，那麼m次詢問，就要運算m*n次，複雜度就是O(m*n)

這道題m和n都是30000，那麼計算量達到了10^9；而電腦1秒的計算量大約是10^8的數量級，所以這種方法無論怎麼最佳化都是逾時

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因為n條線段是固定的，所以某種程度上說每次都把n條線段查一遍有大量的重複和浪費；

線段樹就是可以解決這類問題的資料結構

舉例說明：已知線段[2,5] [4,6] [0,7]；求點2,4,7分別出現了多少次

在[0,7]區間上建立一棵滿二叉樹：（為了和已知線段區別，用【】表示線段樹中的線段）

                                               【0,7】
                               /                                            /
                     【0,3】                                           【4,7】
                  /               /                                    /                /
       【0,1】             【2,3】                 【4,5】               【6,7】
         /      /                 /      /                     /      /                   /      /
【0,0】 【1,1】【2,2】 【3,3】   【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】

每個節點用結構體：

struct line
{
      int left,right;  //左端點、右端點
      int n;   //記錄這條線段出現了多少次，預設為0
}a[16];

和堆類似，滿二叉樹的性質決定a[i]的左兒子是a[2*i]、右兒子是a[2*i+1];

然後對於已知的線段依次進行插入操作：

從樹根開始調用遞迴函式insert

void insert(int s,int t,int step)  //要插入的線段的左端點和右端點、以及當前線段樹中的某條線段
{
      if (s==a[step].left && t==a[step].right)
      {
            a[step].n++;  //插入的線段匹配則此條線段的記錄+1
            return;  //插入結束返回
      }

      //備忘：下面這句if語句應該是可以不用的，正常情況下這種情況一定包含在上面的if語句中
      if (a[step].left==a[step].right)   return;   //當前線段樹的線段沒有兒子，插入結束返回
      int mid=(a[step].left+a[step].right)/2;
      if (mid>=t)    insert(s,t,step*2);   //如果中點在t的右邊，則應該插入到左兒子
      else if (mid<s)    insert(s,t,step*2+1);   //如果中點在s的左邊，則應該插入到右兒子
      else    //否則，中點一定在s和t之間，把待插線段分成兩半分別插到左右兒子裡面
      {
            insert(s,mid,step*2);
            insert(mid+1,t,step*2+1);
      }
}

三條已知線段插入過程：

[2,5]

--[2,5]與【0,7】比較，分成兩部分：[2,3]插到左兒子【0,3】，[4,5]插到右兒子【4,7】

--[2,3]與【0,3】比較，插到右兒子【2,3】；[4,5]和【4,7】比較，插到左兒子【4,5】

--[2,3]與【2,3】匹配，【2,3】記錄+1；[4,5]與【4,5】匹配，【4,5】記錄+1

[4,6]

--[4,6]與【0,7】比較，插到右兒子【4,7】

--[4,6]與【4,7】比較，分成兩部分，[4,5]插到左兒子【4,5】；[6,6]插到右兒子【6,7】

--[4,5]與【4,5】匹配，【4,5】記錄+1；[6,6]與【6,7】比較，插到左兒子【6,6】

--[6,6]與【6,6】匹配，【6,6】記錄+1

[0,7]

--[0,7]與【0,7】匹配，【0,7】記錄+1

插入過程結束，線段樹上的記錄如下（紅色數字為每條線段的記錄n）：

                                               【0,7】
                                                    1
                               /                                            /
                     【0,3】                                           【4,7】
                         0                                                     0
                 /                 /                                     /                 /
       【0,1】                 【2,3】                【4,5】                【6,7】
            0                           1                          2                         0
          /    /                      /      /                     /     /                    /      /
【0,0】 【1,1】 【2,2】 【3,3】 【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】
     0            0            0            0            0            1           0           0

詢問操作和插入操作類似，也是遞迴過程，略

2——依次把【0,7】 【0,3】 【2,3】 【2,2】的記錄n加起來，結果為2

4——依次把【0,7】 【4,7】 【4,5】 【4,4】的記錄n加起來，結果為3

7——依次把【0,7】 【4,7】 【6,7】 【7,7】的記錄n加起來，結果為1

不管是插入操作還是查詢操作，每次操作的執行次數僅為樹的深度——logN

建樹有n次插入操作，n*logN，一次查詢要logN，m次就是m*logN；總共複雜度O(n+m)*logN，這道題N不超過30000，logN約等於14，所以計算量在10^5～10^6之間，比普通方法快了1000倍；