倍增入門

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倍增線性倍增預先處理

\(f[i][j]\)表示從\(i\)開始的長度為\(2^{j}\)的區間（即區間\([i, i+2^{j}-1]\)）

遞推公式（j在外層遞增）：

\(f[i][j]=max\{f[i][j-1], f[i+2^{j-1}][j-1]\}\)

即將區間\([l, r]\)分為兩個區間合并

查詢

分為兩段，第一段為區間\([l, k]\)，第二段為區間\([r-k+1, r]\)，其中\(k\)為滿足\(2^{k}\le r-l+1\)的所有數中最大的那個數

\(f[i][j]=max\{f[i][k], f[j-2^{k}+1][j]\}\)

樹上倍增（求解LCA）預先處理

首先結合dfs預先處理出\(f[i][j]\)，\(f[i][j]\)表示節點\(i\)向上跳\(2^{j}\)層的節點

遞推公式：

\(f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]\)

即節點\(i\)分兩次向上跳，每次跳\(2^{j-1}\)層跳到的節點就是節點\(i\)向上跳\(2^{j}\)層的節點（\(2^{j-1}\times 2=2^{j}\)）

void dfs(int x, int fa){    dep[x]=dep[fa]+1;    f[x][0]=fa;    for(int j=1;(1<<j)<=dep[x];j++)        f[x][j]=f[f[x][j-1]][j-1];    for(int i=0;i<mp[x].size();i++)        if(mp[x][i]!=fa)            dfs(mp[x][i], x);}

同時也可以順便預先處理出\(log^{n}_{2}\)的所有值以最佳化常數

查詢

首先使兩個查詢節點跳至同一高度後（因為它們的最近公用祖先不可能低於這兩點，跳躍方法同下），當前層記為\(x\)，然後從\(log^{x}_{2}\)到0枚舉（遞減能保證可以完全分解成二進位）\(j\)，如果上跳\(2^{j}\)層後不重合，那麼就繼續跳，重合則不跳，使兩點層數一直逼近最近公用祖先，最後跳完\(2^{0}\)層後，兩點必定會停在最近公用祖先的下一層，所以最後直接取當前層\(i\)的\(f[i][0]\)就好了。

其中，每次取得k的while((1<<t)<=dep[a])迴圈可以如前文提到的那樣先打表出\(log^{n}_{2}\)的所有值以最佳化常數

int lca(int a, int b){    if(dep[a]<dep[b])        swap(a,b);    int t=0;    if(dep[a]!=dep[b]){        while((1<<t)<=dep[a]) t++;    t-=1;        for(int i=t;i>=0;i--){            if(dep[a]-(1<<i)>=dep[b])                a=f[a][i];        }    }    if(a==b)    return a;    t=0;    while((1<<t)<=dep[a]) t++;    t-=1;    for(int i=t;i>=0;i--)        if(f[a][i]!=f[b][i])            a=f[a][i], b=f[b][i];    return f[a][0];}

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