圖--產生樹和最小產生樹

樹（自由樹）、無序樹和有根樹

    　自由樹就是一個無迴路的連通圖（沒有確定根）(在自由樹中選定一頂點做根，則成為一棵通常的樹)。
    　從根開始，為每個頂點(在樹中通常稱作結點)的孩子規定從左至右的次序，則它就成為一棵有序樹。
    　在圖的應用中，我們常常需要求給定圖的一個子圖，使該子圖是一棵樹。

產生樹

1、產生樹
    　如果連通圖G的一個子圖是一棵包含G的所有頂點的樹，則該子圖稱為G的產生樹(SpanningTree)。
    　產生樹是連通圖的包含圖中的所有頂點的極小連通子圖。
    　圖的產生樹不惟一。從不同的頂點出發進行遍曆，可以得到不同的產生樹。

2、深度優先產生樹和廣度優先產生樹
（1）產生樹的求解方法
    　設圖G=(V，E)是一個具有n個頂點的連通圖。則從G的任一頂點（源點）出發，作一次深度優先搜尋（廣度優先搜尋），搜尋到的n個頂點和搜尋過程中從一個已訪問過的頂點vi搜尋到一個未曾訪問過的鄰接點vj，所經過的邊(vi，vj)（共n-1條）組成的極小連通子圖就是產生樹。（源點是產生樹的根）
    　通常，由深度優先搜尋得到的產生樹稱為深度優先產生樹，簡稱為DFS產生樹；由廣度優先搜尋得到的產生樹稱為廣度優先產生樹，簡稱為BPS產生樹。
　　
（2）求DFS產生樹和BFS產生樹演算法
    只要在DFS(或DFSM)演算法的if語句中，在遞迴調用語句之前加入適當產生邊(vi，vj)的操作(如將該邊輸出或儲存)，即可得到求DFS產生樹的演算法。
    在BFS(或BFSM)演算法的if語句中，加入產生樹邊(vi，vj)的操作，可得到求BFS產生樹的演算法。【參見練習】
  注意：
    ①圖的廣度優先產生樹的樹高不會超過該圖其它產生樹的高度
    ②圖的產生樹不惟一，從不同的頂點出發進行遍曆，可以得到不同的產生樹。

3、產生樹的通用定義
    若從圖的某頂點出發，可以系統地訪問到圖中所有頂點，則遍曆時經過的邊和圖的所有頂點所構成的子圖，稱作該圖的產生樹。（此定義不僅僅適用於無向圖，對有向圖同樣適用。）
（1）若G是強連通的有向圖，則從其中任一頂點v出發，都可以訪問遍G中的所有頂點，從而得到以v為根的產生樹。
（2）若G是有根的有向圖，設根為v，則從根v出發可以完成對G的遍曆，得到G的以v為根的產生樹。
（3）若G是非連通的無向圖，則要若干次從外部調用DFS(或BFS)演算法，才能完成對G的遍曆。每一次外部調用，只能訪問到G的一個連通分量的頂點集，這些頂點和遍曆時所經過的邊構成了該連通分量的一棵DFS(或BPS)產生樹。G的各個連通分量的DFS(或BFS)產生樹組成了G的DFS(或BFS)產生森林。
（4）若G是非強連通的有向圖，且源點又不是有向圖的根，則遍曆時一般也只能得到該有向圖的產生森林。

5、普裡姆(Prim)演算法
（1）演算法思想
    　T=(U，TE)是存放MST的集合。
　　①T的初值是({r}，￠)
　　  即最小產生樹初始時只有一個紅點r，沒有紅邊。
　　②T經過n-1次如下步驟操作，最後得到一棵含n個頂點，n-1條邊的最小產生樹
    　⒈選擇紫邊集中一條輕邊並擴充進T
　　⒉將輕邊串連的藍點改紅點
　　⒊將輕邊改紅邊
    　⒋修改紫邊集

（2）較小紫邊集的構造
    　若當前形成的T中有k個頂點，|U|=k，|V-u|=n-k，故可能的紫邊數目是k(n-k)。從如此大的紫邊集中選擇輕邊是低效的。因此，必須構造較小的紫邊集。
    　對於每個藍點v ∈V-U，從v到各紅點的紫邊中，只有最短的那一條才有可能是輕邊。因此，只須保留所有n-k個藍點所關聯的最短紫邊作為輕邊的候選集即可。

（3）候選紫邊集合的修改
    　當把輕邊(u，v)擴充到T時，因為v由藍變紅，故對每個剩餘的藍點j，邊(v，j)就由非紫邊變為紫邊，這條新紫邊的長度可能小於藍點j原來所關聯的最短紫邊的長度。因此，用長度更小的新紫邊取代那些原有的最短紫邊。

（4）Prim演算法的虛擬碼描述
 PrimMST(G，T，r){
  //求圖G的以r為根的MST，結果放在T=(U，TE)中
    InitCandidateSet(…)；//初始化：設定初始的輕邊候選集，共置T=({r}，￠)
    for(k=0；k<n-1；k++){ //求T的n-1條樹邊
        (u，v)=SelectLiShtEdge(…)；//選取輕邊(u，v)；
         T←T∪{(u，v)}；//擴充T，即(u，v)塗紅加入TE，藍點v並人紅點集U
        ModifyCandidateSet(…)； //根據新紅點v調整候選輕邊集
      } 
   }

（5） 演算法的執行過程
    　用PRIM演算法得到最小產生樹的過程【參見動畫示範】


  注意：
    　若候選輕邊集中的輕邊不止一條，可任選其中的一條擴充到T中。
    　連通網的最小產生樹不一定是惟一的，但它們的權相等。
    
（6）演算法特點
    　該演算法的特點是當前形成的集合T始終是一棵樹。將T中U和TE分別看作紅點和紅邊集，V-U看作藍點集。演算法的每一步均是在串連紅、藍點集的紫邊中選擇一條輕邊擴充進T中。MST性質保證了此邊是安全的。T從任意的根r開始，並逐漸生長直至U=V，即T包含了 C中所有的頂點為止。MST性質確保此時的T是G的一棵MST。因為每次添加的邊是使樹中的權儘可能小，因此這是一種"貪心"的策略。
（7）演算法分析
    　該演算法的時間複雜度為O(n2)。與圖中邊數無關，該演算法適合於稠密圖。

（1）演算法思想
　　①T的初始狀態
   　   只有n個頂點而無邊的森林T=(V，￠ )
　　②按邊長遞增的順序選擇E中的n-1安全邊(u，v)並加入T，產生MST
注意：
    　安全邊指兩個端點分別是森林T裡兩棵樹中的頂點的邊。加入安全邊，可將森林中的兩棵樹串連成一棵更大的樹
    　因為每一次添加到T中的邊均是當前權值最小的安全邊，MST性質也能保證最終的T是一棵最小產生樹。

（2）演算法特點
    　該演算法的特點是：當前形成的集合T除最後的結果外，始終是一個森林。

（3）Kruskal演算法的抽象描述
  KruskalMST(G){//求連通網G的一棵MST
     T=(V，￠)； //初始化，T是只含n個頂點不包含邊的森林
    依權值的遞增序對E(G)中的邊排序，並設結果在E[0..e-1]中
    for(i=0;i<e;i++) { //e為圖中邊總數
        取E[0．．e-1)中的第i條邊(u，v)；
         if u和v分別屬於T中兩棵不同的樹then
            T=T∪{(u，v)}；//(u，v)是安全邊，將其加入T中
         if T已是一棵產生樹then
      ``         return T；
        }//endfor
       return T；
   } 

（4）用Kruskal演算法構造最小產生樹的過程
    　用Kruskal演算法構造最小產生樹的過程【參見動畫示範】


（5）演算法分析
    　該演算法的時間複雜度為O(elge)。
    Kruskal演算法的時間主要取決於邊數。它較適合於稀疏圖。