圖論，最短路徑問題總結

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維基百科定義最短路：

一個有6個節點和7條邊的圖

最短路徑問題是圖論研究中的一個經典演算法問題， 旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。 演算法具體的形式包括：

• 確定起點的最短路徑問題 - 即已知起始結點，求最短路徑的問題。適合使用Dijkstra演算法。
• 確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。
• 確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。
• 全域最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑。適合使用Floyd-Warshall演算法。

用於解決最短路徑問題的演算法被稱做“最短路徑演算法”， 有時被簡稱作“路徑演算法”。 最常用的路徑演算法有：

• Dijkstra演算法
• A*演算法
• Bellman-Ford演算法
• SPFA演算法 (Bellman-Ford演算法的改進版本)
• Floyd-Warshall演算法
• Johnson演算法
• Bi-Direction BFS演算法

1.floyd演算法 （n^3複雜度）

基本思想：開始設集合S的初始狀態為空白，然後依次將0,1，。。n-1定點加入，同時用d[i][j]儲存從i到j，僅經過S中的定點的最短路徑，在初始時刻，d[i][j] = A[i][j]中間不經過任何節點，然後依次向S中插入節點，並進行如下更新
d(k)[i][j] = min{  d(k-1)[i][j] ,  d(k-1)[i][k]+d(k-1)[k][j]  }
還可以使用一個二維數組path指示最短路徑。
path[i][j]給出從定點i到j的最短路徑上，定點i的前一個頂點
代碼相當簡單，最容易的實現方法：

for (k = 0;k < n;k++)for (i = 0;i < n;i++)for (j = 0;j < n;j++){if (d[i][k] + d[k][j] < d[i][j]){d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];path[i][j] = path[k][j];}}

可以通過遞推得出路徑的。。

2.dijstra演算法

單源最短路問題，先加入源，維持一張表來儲存此時到源中的最短距離，選取最小的加入，然後更新表，不斷的加入直到目的地在源中。僅適用於正邊權的時侯，因為這時我們可以保證任意加入的點已經找到了源到該點的距離。

 

3.bellman-ford演算法

 

最優性原理

最優性原理介紹及簡單證明見：http://blog.csdn.net/liguanxing/article/details/7401798

它是最優性原理的直接應用，演算法基於以下事實：

如果最短路存在，則每個頂點最多經過一次，因此不超過n-1條邊；

長度為k的路由長度為k-1的路加一條邊得到；

由最優性原理，只需依次考慮長度為1，2，…，k-1的最短路。

 

適用條件&範圍

單源最短路徑(從源點s到其它所有頂點v);

有向圖&無向圖(無向圖可以看作(u,v),(v,u)同屬於邊集E的有向圖);

邊權可正可負(如有負權迴路輸出錯誤提示);

 差分約束系統（需要首先構造約束圖，構造不等式時>=表示求最小值,作為最長路，<=表示求最大值,作為最短路。<=構圖時,有負環說明無解；求不出最短路（為Inf）為任意解。>=構圖時類似）。  

 

演算法描述

 1）對每條邊進行|V|-1次Relax操作;

 2）如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],則存在負權迴路;否則dis[v]即為s到v的最短距離,pre[v]為前驅。  

 

for i:=1 to |V|-1 do //進行|v|-1次鬆弛得最短距離    for 每條邊(u,v)∈E do           Relax(u,v,w);for每條邊(u,v)∈E do //判斷是否存在負權環    if dis[u]+w<dis[v]         Then Exit(False)

演算法時間複雜度O(VE)。因為演算法簡單，適用範圍又廣，雖然複雜度稍高，仍不失為一個很實用的演算法。  

改進和最佳化  如果迴圈n-1次以前已經發現不存在緊邊則可以立即終止；

 

 

4.spfa演算法

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford演算法的一種隊列實現，減少了不必要的冗餘計算。它可以在O(kE)的時間複雜度內求出源點到其他所有點的最短路徑，可以處理負邊。

 

 

演算法流程  

SPFA對Bellman-Ford演算法最佳化的關鍵之處在於意識到：只有那些在前一遍鬆弛中改變了距離估計值的點，才可能引起他們的鄰接點的距離估計值的改變。因此，演算法大致流程是用一個隊列來進行維護，即用一個先進先出的隊列來存放被成功鬆弛的頂點。初始時，源點s入隊。當隊列不為空白時，取出隊首頂點，對它的鄰接點進行鬆弛。如果某個鄰接點鬆弛成功，且該鄰接點不在隊列中，則將其入隊。經過有限次的鬆弛操作後，隊列將為空白，演算法結束。SPFA演算法的實現，需要用到一個先進先出的隊列 queue 和一個指示頂點是否在隊列中的標記數組mark。為了方便尋找某個頂點的鄰接點，圖採用臨界表格儲存體。

Procedure SPFA; Begin   initialize-single-source(G,s);   initialize-queue(Q);   enqueue(Q,s);   while not empty(Q) do begin      u:=dequeue(Q);      for each v∈adj[u] do begin         tmp:=d[v];         relax(u,v);         if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then enqueue(Q,v);         end;      end;End;

注意：spfa演算法只有在不存在負權環的情況下可以正常的結束，如果存在負權環，那麼將總有頂點在入隊和出隊往返，隊列無法為空白，這種情況下SPFA無法正常結束。可以通過添加一個變數表示每個頂點進入隊列的次數，如果大於|v|那麼就可以說明存在負權環

圖論，最短路徑問題總結