圖論讀書筆記

劉汝佳書論這章也看的差不多了，做題時發現自己在圖論的知識與思維上還差很多，所以去圖書館借了兩本圖論的書翻了看看，一些筆記整理於此。

一.重要思想：
1.補圖：
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G是以V（G）為點集的一個圖，但是兩個點在G中串連若且唯若他們在G中不串連。
eg
命題：在任何一個有6個人的組裡，存在3個人相互認識，或存在3個人相互不認識。
證明：設A是其中的某一人，則另外5人中一定存在3個人都認識他，否則這個現象在補圖中成立而在這三個人中，如果互相都不認識，則命題成立，否則存在某兩人互相認識，則這兩人和A一起，構成了互相認識的三人。如此，命題成立。

畫圖問題：畫出全部具有5個頂點，3條或7條邊的簡單圖。
因為一個5個點的完全圖共有5*4/2=10條邊，所以一個3條邊的圖的補圖就是7條邊的圖，如此只需畫出一種即可產生另一種

命題：對一個任意的簡單圖，此圖或其補圖是連通的。
證明：假設給定的圖是不連通的，對這個圖中的任意兩點a、b，如果這兩點在原圖中不屬於同一個塊，則在補圖中他們就是連通的如果這兩點在原圖中屬於同一個塊，則在原圖中存在另一個塊中點c，這個ac，bc在補圖中是連通的，所以a、b在補圖中連通，問題得證

2.最長路方法
設L是圖G的最長路之一，它的長是m，它的端點之一是a，我們考察G中關聯於a的那些邊，其中任意邊的另一端點必屬於L，否則，把這另外的邊添加到L上去，就會得到一條更長路。
eg
命題：一個連通圖，每個頂點度數是2，則該圖是個環。
證明：假設這個圖有一條最長路L，一個端點為a，因為a的度數是2，所以a還有一條C邊不在L中，由最長路原則可知，這條邊的另一端點也必須屬於L，而L中只剩一個點的度數是1，即另一端點b，其餘點度數都是2，所以C只能連到b，這樣最長路L首尾端點必然相連，即構成了一個環

命題：一個無圈有向圖至少有一個頂點的出度為0。
證明：假設該圖有一條最長路L，一個端點為a，若與a相連的邊至少有兩條，假設不在L中的那條邊為C，根據最長路原則，C的另一端點只能在L中，而題目中說明了該圖是無圈圖，所以這條與a相連的邊C不存在，這樣可以看出與a相連的邊只能有一條，所以a的出度為0。

3.方向對偶原則
逆有向圖概念：簡單來說，就是把一個有向圖所有邊反向得到的圖。
eg
命題：一個無圈有向圖至少有一個頂點的入度為0.
證明：通過上一個命題中證明的那張圖的逆有向圖，可以輕鬆看出這個命題也是成立的，（其實是等價的）。

4.矩陣的引入
一個圖由它的鄰接性或關聯性完全決定。這種資訊可以用矩陣很方便的表達。
eg
鄰接矩陣
定理：令A為G的鄰接矩陣，則An（A的n次方）的元素a[i][j]的值是由Vi到Vj的長度等於n的道路的數目。
推論1：A2中a[i][i]是Vi的度。A3的a[i][i]是含Vi的三角形數目的2倍。
推論2：若G是連通的，對於i!=j,Vi與Vj之間的距離是使An的a[i][j]不等於0的最小整數n。

5.圖的度數是邊數的兩倍
因為圖就是由點和邊組成的，而度作為描述這兩個量的數量關係上的概念，（因為通常知道點的度）這個相等關係就實在太重要了，雖然很簡單。
eg
命題：若一個圖是連通的，且每個點的度至少是2，則圖G中一定含有一個圈。
證明：假設圖中頂點個數是n，則圖總的度數>=2*n，所以邊數>=n，因為一個圖的產生樹只有n-1條邊，所以這個多出來的一條邊一定會形成一個環，命題得證

二.概念重述:
1.割點：v是圖G的一個割點。則存在一個將點集V-{v}分成子集U和W的劃分，使得對任何兩點u<-U,和w<-W，點v在每一條u-w的道路上。

2.橋：x是G的一座橋。x不在G的任何一個圈中。

3.塊：g是圖的一個塊。g的任何兩個點在一個公用的圈上。對g的每三個不同的點，存在一條道路連接這兩個點，並含（不含）有第三個點。（LA 3523）

4.歐拉圖：
1). G是歐拉的 <=> G的每一個塊是歐拉的。
2). 無向圖G的每個點的度數是偶數。
3). 有向圖G的入度等於出度。
4). 圖的邊集能劃分為圈。

5.獨立集與覆蓋：
點覆蓋：覆蓋一個圖所有“邊”的一個“點”集。
邊覆蓋：覆蓋一個圖所有“點”的一個“邊”集。
最小點覆蓋集：所有點覆蓋中元素數目最少的那個集合，記其元素數目為Df。
最小邊覆蓋集：所有邊覆蓋中元素數目最少的那個集合，記其元素數目為Bf。
點獨立集：是一個圖的點集，其中沒有任何兩個點在原圖中是鄰接的。
邊獨立集：是一個圖的邊集，其中沒有任何兩條邊在原圖中是鄰接的。
最大點獨立集：所有點獨立集中元素數目最多的那個集合，記其元素數目為Dd。
最大邊獨立集：所有邊獨立集中元素數目最多的那個集合，記其元素數目為Bd。

重要定理 對任何一個連通圖G
 Df + Dd = P = Bf + Bd （P是G的頂點數）

重要拓展
如果G是二分圖，Bd = Df 。
而最大邊獨立集Bd 就是 最大匹配數。

三.一些定理
1.明格爾定理：分離兩個不相鄰的點s、t的點最少數目等於點不相交的s-t路徑的最多數目。
  明格爾定理變形：對於一個圖中的任何兩個點，連接它們的邊不相交的路徑的最多數目等於分離它們的邊的最少數目。
 （點不相交，即指一般我們熟所悉的不相交；邊不相交，即路徑沒有邊重合。）

  最大流最小割定理：在任何一個網路中，若有一條從s到t的路徑，則從s到t的最大流等於最小截量。
  要證明這個定理，可以把由u到v的容量為n的有向邊換為n條不指名容量的有向邊。這樣利用明格爾定理的變形即可證明這個定理了。

2.一個圖是可雙色的若且唯若它沒有奇圈。（作為二分圖判定演算法的依據）

3.可以給一個任意的無橋的無向連通圖的邊定向，使它成為一個強連通圖。（uva 10972）

      一個有向圖D是強連通的，若且唯若D中存在一條迴路，它至少經過每個頂點一次。（la 4287）

     一個無向圖G是邊雙連通的，若且唯若G中存在一條迴路，它至少經過每個頂點一次。（uva 10972）

4.一個無向圖，每個頂點的度數是偶數，則一定能找到圖的一些迴路，使每條邊恰好屬於這些迴路之一。
  一個有向圖，每個點的入度與出度相等，則一定能找到圖的一些迴路，使每條邊恰好屬於這些迴路之一。