最大公約數、最小公倍數【數論】

標籤：style   blog   io   os   sp   on   2014   log   代碼   

功能：求a和b的最大公約數

傳入參數：整數a、整數b

傳出參數：a和b的最大公約數

演算法1：歐幾裡得演算法

時間複雜度：O(n)

實現原理：

設兩數為a、b(a>b），求a和b最大公約數(a，b）的步驟如下：

用b除a，得a÷b=q......r1(0≤r1）。若r1=0，則（a，b)=b；

若r1≠0，則再用r1除b，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.

若r2=0，則（a，b)=r1，若r2≠0，則繼續用r2除r1，……

如此下去，直到能整除為止。其最後一個非零除數即為（a，b）。

實現代碼：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring> using namespace std;template <typename T>T GCD(T a,T b){    if(a < b)    {        T temp = a;        a = b;        b = temp;    }    if(b == 0)        return a;    return GCD(b,a%b);}int main(){    int a = 5,b = 6;    printf("%d\n",GCD(a,b));    return 0;}

演算法2：stein演算法

時間複雜度：O( log(max(a,b)) )

實現原理：

gcd(a,a)=a，也就是一個數和其自身的公約數仍是其自身。
gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公約數運算和倍乘運算可以交換。

特殊地，當k=2時，說明兩個偶數的最大公約數必然能被2整除。
當k與b互為質數，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是約掉兩個數中只有其中

一個含有的因子不影響最大公約數。特殊地，當k=2時，說明計算一個

偶數和一個奇數的最大公約數時，可以先將偶數除以2。

演算法過程：

1、如果An=Bn,那麼An(或Bn)*Cn是最大公約數,演算法結束
2、如果An=0，Bn是最大公約數，演算法結束
3、如果Bn=0，An是最大公約數，演算法結束
4、設定A1=A、B1=B和C1=1
5、如果An和Bn都是偶數，則An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2隻要把整數左移一位即可，除2隻要把整數右移一位即可)
6、如果An是偶數，Bn不是偶數，則An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很顯然啦，2不是奇數的約數)
7、如果Bn是偶數，An不是偶數，則Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很顯然啦，2不是奇數的約數)
8、如果An和Bn都不是偶數，則An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
9、n加1，轉1

實現代碼：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;template <typename T>T GCD(T a,T b){    if (a == 0) return b;    if (b == 0) return a;    if (~a & 1)    {        if (b & 1)            return GCD(a >> 1, b);        else            return GCD(a >> 1, b >> 1) << 1;    }    if (~b & 1)        return GCD(a, b >> 1);    if (a > b)        return GCD((a - b) >> 1, b);    return GCD((b - a) >> 1, a);}int main(){int a = 4,b = 6;printf("%d\n",GCD(a,b));return 0;} 

求最大公倍數：

實現代碼：

template <typename T>T LCM(T a,T b){return a/GCD(a,b)*b;}

最大公約數、最小公倍數【數論】