貪心演算法應用-單元最短路徑

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　　最短路徑問題是用圖中的頂點代表不同的城市，用圖中頂點之間的連線即邊上權值表示不同城市之間路徑的長度，在從一個頂點到另一個頂點之間的所有路徑中，求權值之和最小的路徑的問題即為最短路徑問題。

　　單元最短路徑問題可以描述為在一個帶有權值的有向圖中，從一個頂點到另一個頂點存在多條通路。要求找一條從初始頂點S（源點）到達目標頂點D（終點）的最短路徑，其中規定每條邊的權值是一個非負實數。

 

Dijkstra基本思想：

對於單元最短路徑問題，最好的方法是Dijkstra於1959年提出來的Dijkstra演算法（雙標號法），該演算法的基本思想是設S為最短距離已確定的頂點集S，V-S是最短距離尚未確定的頂點集U。開始只有源點s的最短距離是已知的即SD(s)=0，故頂點集S={s}。按路徑長度遞增次序產生各頂點最短路徑。

在當前集合U中選擇一個最短距離最小的藍點來擴充集合S，以保證演算法按路徑長度遞增的次序產生各頂點的最短路徑。

當集合U中僅剩下最短距離為無窮大的結點，或者所有未確定結點已擴充到已確定集S時，s到所有頂點的最短路徑就求出來了。

 

注意：

如果從源點到未確定的路徑不存在，則可假設該結點的最短路徑是一條長度為無窮大的虛擬路徑。

從源點s到終點v的最短路徑簡稱為v的最短路徑；s到v的最短路徑長度簡稱為v的最短距離，並記為SD(v)。

 

結論：當按照長度順序產生最短路徑時，下一條最短路徑總是由一條已經產生的最短路徑加上一條邊形成的。換而言之，下一條最短路徑總是由已產生的最短路徑再擴充一條最短的邊得到，即Dijkstra演算法採用貪進法的思想，它通過分步方法求出最短路徑。首先產生一個到達新的目的頂點的最短路徑，然後再所能達到的目的頂點通過如下貪心選擇準則選取頂點，即在還未產生最短路徑的頂點中，選擇路徑長度最短的頂點併入集合S。

 

Dijkstra演算法：http://blog.csdn.net/wangdd_199326/article/details/62914026

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