除法散列函數之散列值問題

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演算法導論對於除法散列函數的描述。其中涉及到一小點數學問題：

k mod m時，m之所以為素數時為了使得k在m所在的素數域上保持唯一性（根據歐拉定理和費馬小定理）

散列函數： 

H(k) = k Mod m

其中m的取值如是描述：

應用除法散列法的時候，要避免選擇m的某些值，例如，m不應該為2 的冪 。（盡量取素數，並且距離 2^p 比較遠的數值。 ）因為如果 m = 2^p （2的p次方），則 H(k) 就是k的p個最低位元字。除非一直各種最低p位的排列形式為等可能的，否則在設計散列函數的時候，最好考慮關鍵字的所有位。

解釋一下：

如果 m = 2^p （2的p次方），則 H(k) =k Mod m 就等價於 k的低m位與 m 求餘所得的值。例如：m = 8 = 2^3 。那麼，1456 Mod 8 = 2456 Mod 8 = 3456 Mod 8 = 4456 Mod 8 = 456 Mod 8 ………… 如果這樣的話，那麼H(k)重複得機率就會大大的增加了。

“除非已知各種最低p位的排列形式為等可能的”這句話的意思是，如果低位p位在所有k中出現的機率是相同的，那麼就可以使用2^p 來作為散列值。“否則在設計散列函數的時候，最好考慮關鍵字的所有位。”也就是盡量考慮到所有的位元。

希望解釋的能夠看懂^^^^^看不懂的只能回家了，不要寫代碼了........

附：

費馬小定理是數論中的一個重要定理,其內容為: 假如p是質數，且(a,p)=1，那麼 a^(p-1) ≡１（mod p） 假如p是質數，且a,p互質，那麼 a的(p-1)次方除以p的餘數恒等於1。假如p是一個質數的話，則2^(p-1)≡1(mod p)成立（這是費馬小定理的一個特殊情況）是對的。但反過來，假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那麼p是一個質數是不成立的（比如341符合上述條件但不是一個質數）。

除法散列函數之散列值問題