HDU-1098-Ignatius's puzzle

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題目連結

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1098

題目的關鍵是函數式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;事實上，由於x取任何值都需要能被65整除.那麼用數學歸納法.只需找到f(1)成立的a,並在假設f(x)成立的基礎上,證明f(x+1)也成立.那麼把f(x+1)展開,得到5*( ( 13 0 )x^13 + (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0)+13*( ( 5 0 )x^5+(5 1 )x^4......其實就是二項式展開,這裡就省略了 ......+ ( 5 5 )x^0 )+k*a*x+k*a;——————這裡的( n m)表示組合數,相信學過2項式定理的朋友都能看明白.然後提取出5*x^13+13*x^5+k*a*x則f(x+1 ) = f (x) + 5*( (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0 )+ 13*( (5 1 )x^4+...........+ ( 5 5 )x^0 )+k*a;很容易證明，除了5*(13 13) x^0 、13*( 5 5 )x^0 和k*a三項以外,其餘各項都能被65整除.那麼也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.而f(1)也正好等於18+k*a所以,只要找到a,使得18+k*a能被65整除,也就解決了這個題目.第一點：當k%65=0時，18+k*a是永遠除不盡65的，第二點；k%65！=0 時，那麼我們就從1開始找a，不斷地嘗試18+k*a是否能除盡65，找到即止。當a==66時，也就是已經找了一個周期了，在找下去也找不到適當的a了。此題屬於紙老虎型^_^（如果沒有想到這裡就要動用暴力........）。

 

#include<stdio.h>

 int main(void){    int k,i;    while(scanf("%d",&k)==1)    {        for(i=1;i<=66;i++)        {            if((18+k*i)%65==0)            {                printf("%d\n",i);                break;            }        }        if(i>66)        printf("no\n");    }    return 0;}

HDU-1098-Ignatius's puzzle