HDU 1452 因子和+積性函數+逆元

神牛的解釋太精闢了，難以解釋的好...

此題神牛連結http://www.cppblog.com/vontroy/archive/2010/10/02/128356.html

 

計算 2004^X的因子和 s(2004^X) mod M, M=29

s(2004^X)%29
因子和 s是積性函數,即 ：gcd(a,b)=1==> s(a*b)= s(a)*s(b)

2004^X=4^X * 3^X *167^X
s(2004^X)= s(2^(2X))* s(3^X) * s(167^X)

如果 p是素數 ==> s(p^X)=1+p+p^2++p^X = (p^(X+1)-1) /(p-1)

s(2004^X)=（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2 *(167^(X+1)-1)/166

167%29=22

s(2004^X)=（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2 *(22^(X+1)-1)/21

(a*b)/c %M= a%M* b%M * inv(c)

c*inv(c)=1 %M 模為1的所有數 inv（c）為最小可以被c整除的

inv(2)=15, inv(21)=18 2*15=1 mod 29, 18*21=1 mod 29

s(2004^X)=（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2 *(22^(X+1)-1)/21
=（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)*15 *(22^(X+1)-1)*18
***************************************************************/

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int __pow(int a,int n){ ///  求 a^n%29 的解
    int b=1;
    while(n>1){  /// 這段代碼好的難以解釋，二分的思想，自己慢慢體會吧
        if(n%2==0){
            a = a*a%29;
            n /= 2;
        }
        else {
            b = b*a%29;
            n--;
        }
    }
    return a*b%29;
}

int main(){
    int x,a,b,c;
    while(cin>>x,x){  /// 直接求出了逆元
        a = __pow( 2,2*x+1 );
        b = __pow( 3,(x+1) );
        c = __pow( 22,(x+1));
        cout<<(a-1)*(b-1)*15*(c-1)*18%29<<endl;
    }
}