HDU 3949 異或線性基__異或線性基

題目連結

題意：
有 n n個數和 q q個詢問，每個詢問給出一個正整數 k k，問這 n n個數異或組合出的所有數中第 k k小的是什麼數，若不存在則輸出 −1 -1。

思路：
首先構建出這 n n個數的異或線性基。

假設非零線性基共有 tot tot個，從小到大排列後，對於第 x x個線性基，前 1−(x−1) 1-(x-1)個線性基無論怎樣線性組合，其結果一定小於第 x x個線性基。

因為第 x x個線性基假設最高位的 1 1在第 k k位，因為異或不存在進位，故比它小的基無論怎麼組合都組合不出二進位位大於等於 k k的一個 1 1。

這樣的話，線性基的線性組合大小排序很類似於二進位的大小排序，比如：
10000 10000 一定比 01111,01101,01110 01111,01101,01110等等形如 0xxxx 0xxxx的位元大。

故可考慮對 k k二進位分解，若其第 i i位為1，則加上從小到大排序後第 i i小的線性基的貢獻。

故對於 tot tot個線性基，線性組合的情況一共有 2tot−1 2^{tot} - 1種。
但這樣並沒有包括 0 0的情況。

所以可以特判一下，若 n n個向量全部都用來構成線性基，則不會存在異或後為 0 0的情況。

故此題得解。

代碼：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int A = 1e4 + 10;ll a[A],b[110],c[A];int n,zero,tot;void init(){    zero = tot = 0;    memset(b,0,sizeof(b));    for(int i=1 ;i<=n ;i++) for(int j=62 ;j>=0 ;j--){        if((a[i]>>j)&1){            if(b[j]) a[i] ^= b[j];            else{                b[j] = a[i];tot++;                for(int k=j-1 ;k>=0 ;k--) if(b[k] && ((b[j]>>k)&1)) b[j] ^= b[k];                for(int k=j+1 ;k<=62;k++) if(((b[k]>>j)&1))         b[k] ^= b[j];                break;            }        }    }    zero = (tot<n);tot = 0;    for(int i=0 ;i<=62 ;i++) if(b[i]) c[tot++] = b[i];}ll solve(ll k){    if(zero) k--;    if(k >= (1LL<<tot)) return -1;    ll ans = 0;    for(int i=0 ;i<=62 ;i++) if((k>>i)&1) ans ^= c[i];    return ans;}int main(){    int T,_=1;scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d",&n);        for(int i=1 ;i<=n ;i++) scanf("%I64d",&a[i]);        init();        int q;scanf("%d",&q);        printf("Case #%d:\n",_++);        while(q--){            ll k;scanf("%I64d",&k);            printf(