HDU 4370 0 or 1（12年多校by uestc 0/1規劃，最短路）

轉載請註明出處，謝謝http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7854526      
by---cxlove 

題目：一個只含0，1的矩陣

1.X_{12+X13+...X1n=1
2.X1n+X2n+...Xn-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n).}

另外一個矩陣，兩個矩陣相乘最小

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370 

顯然，題目給的是一個0/1規劃模型。

解題的關鍵在於如何看出這個模型的本質。

3個條件明顯在刻畫未知數之間的關係，從圖論的角度思考問題，容易得到下面3個結論：

1.X12+X13+...X1n=1 於是1號節點的出度為1

2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 於是n號節點的入度為1

3.∑Xki =∑Xij 於是2~n-1號節點的入度必須等於出度

於是3個條件等價於一條從1號節點到n號節點的路徑，故Xij=1表示需要經過邊(i,j)，代價為Cij。Xij=0表示不經過邊(i,j)。注意到Cij非負且題目要求總代價最小，因此最優答案的路徑一定可以對應一條簡單路徑。

最終，我們直接讀入邊權的鄰接矩陣，跑一次1到n的最短路即可，記最短路為path。

以上情況設為A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，簡單路徑只是充分條件，但不必要。（對造成困擾的隊伍深表歉意）

漏了如下的情況B：

從1出發，走一個環（至少經過1個點，即不能是自環），回到1；從n出發，走一個環（同理），回到n。

容易驗證，這是符合題目條件的。且A || B為該題要求的充要條件。

由於邊權非負，於是兩個環對應著兩個簡單環。

因此我們可以從1出發，找一個最小花費環，記代價為c1,再從n出發，找一個最小花費環，記代價為c2。（只需在最短路演算法更新權值時多加一條記錄即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最終答案為min(path,c1+c2)

#include<iostream>#include<cstdio>#include<map>#include<cstring>#include<cmath>#include<vector>#include<algorithm>#include<set>#include<queue>#define inf 1<<27#define N 105#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))#define pb(a) push_back(a)#define LL long longusing namespace std;int n,path[305][305];int dist[305],vis[305];void Spfa(int s){    queue<int>que;    memset(vis,0,sizeof(vis));    for(int i=0;i<n;i++){        if(i==s) dist[i]=inf;        else{            dist[i]=path[s][i];            que.push(i);            vis[i]=1;        }    }    while(!que.empty()){        int u=que.front();        que.pop();        vis[u]=0;        for(int i=0;i<n;i++){            if(dist[i]>dist[u]+path[u][i]){                dist[i]=dist[u]+path[u][i];                if(!vis[i]){                    vis[i]=1;                    que.push(i);                }            }        }    }}int main(){    while(scanf("%d",&n)!=EOF){        for(int i=0;i<n;i++)            for(int j=0;j<n;j++)                scanf("%d",&path[i][j]);        int ans,c1,c2;        Spfa(0);        ans=dist[n-1];        c1=dist[0];        Spfa(n-1);        c2=dist[n-1];        printf("%d\n",min(ans,c1+c2));    }    return 0;}