HDU DP？（Lucas + 帕森斯定理）

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                                                         DP? 

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題目分析：

    給出一個終點座標，求出(0,0)開始的到(n,k)的最小權重和。

演算法分析：

    根據楊輝三角的性質可以知道，只要往兩邊走則得到的值會更小。因為,C(N,M) = C(N,N-M)。所以，我們盡量的斜向的往旁邊走。但是，在斜向走k步後就已經到達邊界了，此時只要順著1一直往上走就可以了。所以，經過的最短路和為:C(n,k) + C(n-1,k-1) + C(n-2,k-2) + ...... C(n - k + 1,1)+ C(n - k,0) + (n - k)[走1的個數].

而這樣直接算肯定逾時，所以我們要想辦法最佳化。這個最佳化呢？

我麼發現可以運用帕森斯定理C(N,M) = C(N-1,M) + C(N - 1,M-1)

我們可以將C(n-k,0) 變為 C(n-k+1,0)則，

C(n-k+2,1) = C(n-k+1,0) + C(n-k+1,1)

C(n-k+3,2) = C(n-k+2,1) + C(n-k+2,2)

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C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)

所以，最後總和為：C(n+1,k) + (n - k)

然後，根據自己的需要運用可以在限制時間內求出組合數的演算法就可以了。

我運用的是Lucas加預先處理階乘打表。

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;typedef __int64 LL;const int MAXN = 10000 + 10;LL fact[1500][MAXN];LL primes[1500];bool vst[MAXN];int hash[MAXN];int K;//預先處理階乘void init(){   int top = 0;   memset(vst,0,sizeof(vst));   for(LL i = 2;i < MAXN;++i)if(!vst[i]){       hash[i] = top;       primes[top++] = i;       for(LL j = i + i;j < MAXN;j += i) vst[j] = 1;   }   for(LL i = 0;i < top;++i){      LL p = primes[i];      fact[i][0] = 1;      for(LL j = 1;j <= p;++j){         fact[i][j] = fact[i][j - 1] * j % p;      }   }}//擴充歐幾裡得LL extgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y){    LL d = a;    if(b != 0){        d = extgcd(b,a%b,y,x);        y -= (a / b) * x;    } else {        x = 1; y = 0;    }    return d;}//求解逆元LL mod_inverse(LL a,LL m){    LL x,y;    extgcd(a,m,x,y);    return (m + x % m) % m;}LL mod_fact(LL n,LL p,LL& e){    e = 0;    if(n == 0) return 1;    LL res = mod_fact(n / p,p,e);    e += n / p;    if(n / p % 2 != 0) return res*(p - fact[K][n % p]) % p;    return res * fact[K][n % p] % p;}LL mod_comb(LL n,LL k,LL p){     if(n < 0||k < 0 || n < k) return 0;     LL e1,e2,e3;     LL a1 = mod_fact(n,p,e1),a2 = mod_fact(k,p,e2),a3 = mod_fact(n - k,p,e3);     if(e1 > e2 + e3) return 0;     return a1 * mod_inverse(a2 * a3 % p,p) % p;}int main(){    init();    int kase = 1;    LL N,M,p;    while(cin >> N >> M >> p){        K = hash[p];        if(M > N / 2)            M = N - M;        cout << "Case #" << kase++ <<": ";        cout << (mod_comb(N + 1,M,p) % p + (N - M) % p) % p << endl;    }    return 0;}

 

HDU DP？（Lucas + 帕森斯定理）