hdu5304 基環 外向樹

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題意：

一個無向圖，n個點，m條邊，要求刪掉m-n條邊使得圖任然連通，問方案數。

 

思路：

留下n條邊，相當於一個樹+一條邊，這樣就有一個唯一的環。

枚舉這個環並看成一個點，就相當於做產生樹計數

1、找環

　　s是一個二進位狀態，u為s中編號最小的點

　　dp[s][v] 以u為起點，經過s中所有的點，並以u結尾的路徑有多少條

　　這樣的環如果u,v有直接的邊相連，再加上dp[s][v]裡的路徑，就可以得到若干個環

　　每個環順時針被算一次，逆時針被算一次，所以要除以2

2、產生樹計數

　　構造基爾霍夫矩陣，環中的點看成一個點

　　這樣可能會有重邊，必須要保留，基爾霍夫矩陣可以計算重邊的情況

　　高斯消元的時候不是實數 要模數

 

#include <cstdio>#include <cstring>#include <vector>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 17;const int S = 1<<N;const int mod = 998244353;ll dp[S+2][N+2], num[S+2];int n, m, lim;int g[N+5][N+5], id[N+5];ll f[N+5][N+5];int t[N+5], st[S+2];vector<int> ch[S+2];inline void add(ll& x, ll y){    x += y;    if (x >= mod) x -= mod;    if (x < 0) x += mod;}inline ll gcd(ll p, ll q){    ll r;    while (q){        r = p%q;        p = q;        q = r;    }    return p;}inline ll fpow(ll x, int n){    ll ret = 1;    while (n){        if (n&1) ret = ret*x%mod;        x = x*x%mod;        n >>= 1;    }    return ret;}inline void prepare(){    lim = 1<<N;    for (int i=1; i<=N; i++) t[i] = 1<<i-1;    for (int s=0; s<lim; s++){        ch[s].clear();        for (int i=1; i<=N; i++) if (s&t[i]){            if (ch[s].size() == 0) st[s] = i;            ch[s].push_back(i);        }    }}inline void circle(){    for (int s=0; s<lim; s++)    for (int i=0; i<ch[s].size(); i++){        int u = ch[s][i];        if (!dp[s][u]) continue;        for (int v=1; v<=n; v++) if (v>st[s] && (!(s&t[v])) && g[u][v]){            dp[s|t[v]][v] += dp[s][u];        }    }    for (int s=0; s<lim; s++) if(ch[s].size()>=3){        int u = st[s];        for (int i=0; i<ch[s].size(); i++){            int v = ch[s][i];            if (v==u || !dp[s][v] || !g[u][v]) continue;            num[s] += dp[s][v];        }        num[s] >>= 1;        num[s] %= mod;    }}ll gauss(ll a[][N+5], int n){    for (int i=1; i<=n; i++)    for (int j=1; j<=n; j++)        a[i][j] = a[i][j]%mod;    ll ret = 1;    for (int i=2; i<=n; i++){        for (int j=i+1; j<=n ;j++) while (a[j][i]){ // 類似與輾轉相除的消元            ll t = a[i][i]/a[j][i];            for (int k=i; k<=n; k++)                add(a[i][k], -t*a[j][k]%mod);            for (int k=i; k<=n; k++)                swap(a[i][k], a[j][k]);            ret = -ret;        }        if (!a[i][i]) return 0;        ret = ret*a[i][i]%mod;    }    return (ret+mod)%mod;//    for (int i=1; i<=n; i++)//        for (int j=1; j<=n; j++){//            if (a[i][j]<0) a[i][j] += mod;//        }//    ll ret = 1, val = 1;//    for (int i=1; i<n; i++){//        if (a[i][i]<0){//            ret = -ret;//            for (int j=i; j<=n; j++) a[i][j] = -a[i][j];//        }//        for (int j=i+1; j<n; j++) if (a[j][i]){//            if (a[j][i]<0){//                ret = -ret;//                for (int k=i; k<=n; k++) a[j][k] = -a[j][k];//            }//            ll div = gcd(a[i][i], a[j][i]);//            ll tmp = a[i][i]/div;//            ll num = a[j][i]/div;//            val = val*tmp%mod;//            for (int k=i; k<=n; k++)//                a[j][k] = (a[j][k]*tmp-a[i][k]*num+mod)%mod;//        }//        if (a[i][i] == 0) return 0;//        ret = ret*a[i][i]%mod;//    }//    if (val!=1) ret = ret*fpow(val, mod-2)%mod;//    return (ret+mod)%mod;}inline void solve(){    ll ans = 0;    for (int s=0; s<lim; s++) if (num[s]){        memset(id, 0, sizeof(id));        int sign = 1;        for (int i=1; i<=n; i++){            if (s&t[i]) id[i] = 1;  // s中的點縮成編號為1的新點            else id[i] = ++sign;        }        memset(f, 0, sizeof(f));        for (int i=1; i<=n; i++)        for (int j=i+1; j<=n; j++) if(g[i][j] && id[i]!=id[j]){            f[id[i]][id[i]] ++; // 對角上度數+1            f[id[j]][id[j]] ++;            f[id[i]][id[j]] --; // id[i]與id[j]之間多一條邊            f[id[j]][id[i]] --;        }        ll tmp = gauss(f, sign);        add(ans, num[s]*tmp%mod);            // num[s]表示s可以構造出環的個數            // tmp是s縮成點後的產生樹數目}    printf("%I64d\n", ans);}int main(){freopen("1005.in", "r", stdin);freopen("1005.out", "w", stdout);    prepare();    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF){        lim = 1<<n;        memset(dp, 0, sizeof(dp));        memset(g, 0, sizeof(g));        int a, b, c;        for (int i=1; i<=m; i++){            scanf("%d %d", &a, &b);            g[a][b] = g[b][a] = 1;            c = max(a, b);            dp[t[a]|t[b]][c] = 1;        }        memset(num, 0, sizeof(num));        circle();        solve();    }    return 0;}

　　

 

　

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