堆、優先順序隊列和堆排序

堆結構是一種數組對象，其定義如下：它是完全二叉樹或者近似完全二叉樹。經常作為優先順序隊列，比如二叉樹優先順序隊列，四叉樹優先順序隊列。

n個關鍵字序列Kl，K2，…，Kn稱為（Heap），若且唯若該序列滿足如下性質（簡稱為堆性質）：

　　(1)ki<=k(2i）且ki<=k(2i+1)(1≤i≤ n），當然，這是小根堆，大根堆則換成>=號。

        k(i）相當於二叉樹的非葉結點，K(2i）則是左孩子，k(2i+1）是右孩子

　　若將此序列所儲存的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉樹的儲存結構，則堆實質上是滿足如下性質的完全二叉樹：

　　樹中任一非葉結點的關鍵字均不大於（或不小於）其左右孩子（若存在）結點的關鍵字。

 

優先順序隊列是不同於先進先出隊列的另一種隊列。
最大優先順序隊列，是這樣的一種隊列結構，它的內部存放著一系列的元素，每個元素都對應著一個最優級，
最大優先順序隊列不管各元素的入隊順序，在出隊時，總是對應優先順序最大的元素出隊。

最小優先順序隊列正好相反，不管入隊的順序，對應的權值最小的隊列元素出隊列。

優先順序隊列可以用二叉樹來實現，比如最大元素出隊列，只要在二叉樹中用常數時間取出最大值就可以了。取出了最大值之後，要繼續調整樹的狀態，使得第二大節點放入根節點。

堆排序

基本思想：對一組待排序記錄的關鍵字，首先建立一個堆，然後輸出最大（小）關鍵字，使得其餘的關鍵字重新構成一個堆，得到次大（小）的元素。這樣反覆執行，使得記錄成為一個有序序列，這個過程就稱為堆排序。由此可見，堆排序主要解決兩個問題：（1）如何使得一個無序的序列稱為一個有序的序列；（2）如何在輸出對頂元素之後，調整剩餘元素使之稱為一個堆。

調整堆的過程：從非終端節點開始，一直到最後節點。

//調整堆使之稱為大（小）頂堆void HeapAdjust(int *data,int s,int m){int j;int rc = data[s];for (j = 2 * s; j < m; j *= 2)//沿著關鍵字較大的孩子節點向下篩選{if (j < m && data[j] < data[j+1]){++j;//j是值較大元素的下標}if (!(rc<data[j])){break;}data[s] = data[j];s = j;//rc應插入在位置s上}data[s] = rc; //插入}

而建立堆只要從最後一個非葉子節點開始，向前逐步調整，這種調整的方法常稱為“篩選法”。

//堆排序void Heap_Sort(int* a,int n){int i = 0;for (i=n/2; i>0; i--)//把a建成大頂堆{HeapAdjust(a,i,n-1);}int temp;//臨時變數for (i=n-1; i>0; i--)  //將當前節點和最後一個資料交換{temp = a[0];a[0] = a[i];a[i] = temp;HeapAdjust(a,0,i-1);}}

堆排序的優點：平均時間複雜度是最壞時間複雜度都是O（nlogn），效率比較高。僅僅需要一個供交換用的輔助記錄大小空間。

缺點：不穩定，相同的資料元素在排序過程中可能移動位置。對於記錄數較少的排序不適合。