高中數學排列組合

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一.特殊元素和特殊位置優先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重複數字五位奇數.

解:由於末位和首位有特殊要求,應該優先安排,以免不合要求的元素佔了這兩個位置.    

   先排末位共有

   然後排首位共有

   最後排其它位置共有

   由分步計數原理得

 

二.相鄰元素捆綁策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.

解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體並看成一個複合元素，同時丙丁也看成一個複合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理可得共有種不同的排法

 

 

 

 

 

三.不相鄰問題插空策略

例3.一個晚會的節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節目不能連續出場,則節目的出場順序有多少種？

解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數原理,節目的不同順序共有      種

 

 

 

練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為  20 

XXOOOXOX

把有3槍連在一起命中的情況看成一個整體，則它與另一命中的一槍不能再相鄰，故可用

 

整體法+插空法

 

首先對沒有命中的4槍進行排序，因其地位平等，只有一種排法，然後插入命中的情況，有A52＝20種

 

 

練習題：某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那麼不同插法的種數為  30

A62=6*5*4*3*2/4*3*2=30，這裡要求不相鄰，因此6個位置用過其中一個，就不能接著用。如果要求不相鄰，那麼方法共有6*7=42

 

四.定序問題倍縮空位插入策略

例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法

這裡的甲乙丙並不要求一定捆綁在一起、連續的

解:(倍縮法)對於某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然後用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是： =7*6*5*4

   (空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其餘的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。

           可以先讓甲乙丙就坐嗎?

當然可以，甲乙丙先坐，需要確定他們坐的的位置，但是不需要確定順序，因此有C73,其餘的四個是全排列，因此答案是C73*A44，答案與上面的一樣。因此先確定哪一個團隊無所謂。

 

練習題:10人身高各不相等,排成前後排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？

        

五.重排問題求冪策略

例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數原理共有種不同的排法

 

 

 

練習題：

1． 某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，那麼不同插法的種數為 42 

6*7=42

2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法

六.環排問題線排策略

例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?如果一種坐法通過旋轉，而與另一坐法重疊（相同）時，被視為同樣的坐法。

解： 

 

8!/8如ABCDEFGH與BCDEFGHA與CDEFGHA。。。與HABCDEFG這8個都都是算作一個排列的，所以要除s以8

 

 

 

 

 

練習題：6顆顏色不同的鑽石，可穿成幾種鑽石圈  120

5*4*3*2=120

七.多排問題直排策略

例7.8人排成前後兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在後排,共有多少排法

解:8人排前後兩排,相當於8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有種,再排後4個位置上的特殊元素丙有種,其餘的5人在5個位置上任意排列有種,則共有種

 

  

 

 

八.排列組合混合問題先選後排策略

例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.

解:第一步從5個球中選出2個組成複合元共有種方法.再把4個元素(包含一個複合元素)裝入4個不同的盒內有種方法，根據分步計數原理裝球的方法共有

 

 

練習題：一個班有6名戰士,其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人蔘加,則不同的選法有 192 種

C21*C43*A44=192

九.小集團問題先整體後局部策略

   

練習題：

１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列,要求同一　     品種的必須連在一起，並且水彩畫不在兩端，那麼共有陳列方式的種數為

2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種

十.元素相同問題隔板策略

例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？ 

   解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。

 

 

 

 

 

本題與例8不同的地方在於，後者已經知道有的要取2個。而這裡並不一定要取兩個，有的班級可能取3個，甚至4個。因此需要用隔板法。

 

練習題：

1． 10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？  

2 .求這個方程組的自然數解的組數   

自然數包括0。原問題等價於(x+1)+(y+1)+(z+1)=104，則一共103空插3個板

十一.正難則反總體淘汰策略

例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小於10的偶數,不同的

  取法有多少種？

解：這問題中如果直接求不小於10的偶數很困難,可用總體淘汰法。這十個數字中有5個偶數5個奇數,所取的三個數含有3個偶數的取法有,只含有1個偶數的取法有,和為偶數的取法共有。再淘汰和小於10的偶數共9種，合格取法共有

 

 

 

 

十二.平均分組問題除法策略

例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

 解: 分三步取書得種方法,但這裡出現重複計數的現象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有（也就是說包含了順序的因素）(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。

 

 

 

 

練習題：

1  將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？（）(不同元素時，則不包含重複，在取5和取4之間沒有重複)

3.某校高二年級共有六個班級，現從外地轉  入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安

排2名，則不同的安排方案種數為______（）

答案等於C62*C42*C22=90,c62表示取班級，c42*c22表示分兩次取4個學生中的2個，但這裡包含了順序的因素。不過我們最終需要的答案裡需要考慮順序，因為不同的一對學生可能分到不同的班級。

十三. 合理分類與分步策略

例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目,有多少選派方法

解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。

X+y+z=10

X+z=8

Y+z=5

選上唱歌人員為標準進行研究

    只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計數原理共有

 種。

 

 

 

 

練習題：

  本題還有如下分類標準：

*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準

*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準

*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準

都可經得到正確結果

十四.構造模型策略

例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九隻路燈,現要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？

解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個(不能再兩端)空隙中插入3個不亮的燈有 種

 

 

 

練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那麼不同的坐法有多少種？（120）

A54=120

十五.實際操作窮舉策略

例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，並且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數原理有種 

 

 

3號盒        4號盒        5號盒 

 

 

 

 

練習題：

1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然後每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？   (9)

 

完成分配可分四步，第一步：甲先拿,有3種;第二步：甲拿到誰的則該人拿,有3種;第三步：餘下的兩人拿,只有一種.故不同的分配方式有3×3×1=9種.

 

2.給圖中地區塗色,要求相鄰區 域不同色,現有4種可選顏色,則不同的著色方法有 72種

 

 

5個地區，只有4個顏色，必定有兩個是一樣的：

15顏色不同時，34相同時：34不相鄰，可塗相同顏色，且有四種選擇，則1有三種選擇，2有兩種選擇，5有一種選擇，4*3*2*1=24

15顏色相同時，34不同時：15不相鄰，塗相同顏色，有四種選擇，3有三種選擇，2有兩種選擇，4有一種選擇，4*3*2*1=24

最終結果24+24=48

 

十六. 分解與合成策略

例16. 30030能被多少個不同的偶數整除

分析：先把30030分解成質因數的乘積形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13

依題意可知偶因數必先取2,，其餘5個都是奇數。再從其餘5個因數中任取若干個組成乘積，

所有的偶因數為：

練習:正方體的8個頂點可連成多少對異面直線

解：

四面體;

 

我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共,12表示四個頂點恰好在一個平面的情況。每個四面體有

3對異面直線,正方體中的8個頂點可連成對異面直線

 

 

 

 

十七.化歸策略

例17. 25人排成5×5方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？

解：將這個問題退化成9人排成3×3方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人後（每行選一個，然後確定列）,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續下去.從3×3方隊中選3人的方法有種。再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題.從5×5方隊中選取3行3列有選法所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有選法。

 

 

 

 

 

 

練習題:某城市的街區由12個全等的矩形區組成其中實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？()

 

七步到達，不是向上就是向右，確定哪幾部是向右的即可。

十八.數字排序問題查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六個數字可以組成多少個沒有重複的比324105大的數？

分類計算：

首位是4或5的，都比324105大：

  首位有2種選擇，後面5個數字全排列。2×A（5,5）=240個

首位是3，萬位是4或5的，也比324105大：

  首位有1種選擇，萬位有2種選擇，後面數字全排列：1×2×A(4,4)=48個

首位是3，萬位是2，千位是5的，也比324105大：

  後三位全排列：A（3,3）=6個

首位是3、萬位是2、千位是4的當中比324105大的還有324510、324501、324150三個

 

共有240+48+6+3=297個

 

 

二十一：住店法策略

解決“允許重複排列問題”要注意區分兩類元素：一類元素可以重複，另一類不能重複，把不能重複的元素看作“客”，能重複的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21.七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數有           .

 

分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重複排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得7種.