最高科技——快速枚舉約數

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求數\(n\)的最小的約數\(r\)，使\(r\)滿足性質\(P\)，這些性質滿足這樣的一個條件：若有\(d|r\)滿足性質\(P\)，則有\(r\)也滿足\(P\)。

首先\(O(\sqrt{n})\)直接暴力枚舉因數顯然可行，然而我們有更快的方法。

設\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_m^{k_m}\)

我們先從大到小枚舉數\(w_1\)，使其成為最小的\(w_1\)使得\(t=p_1^{w_1}p_2^{k_2}\ldots p_m^{k_m}\)滿足\(P\)。

再枚舉\(w_2\)，使其成為最小的\(w_2\)使得\(t=p_1^{w_1}p_2^{w_2}\ldots p_m^{k_m}\)滿足\(P\)。

一直枚舉，得到數\(t=p_1^{w_1}p_2^{w_2}\ldots p_m^{w_m}\)，即為最終的答案。

正確性由性質的性質顯然，不計因式分解，則總時間複雜度為\(O(\lg n \cdot P)\)。

 

這個方法的應用暫且知道兩個：

一是求原根，枚舉約數時直接改為上面的方法，驗證一個數的時間降為\(O(\lg^2 n)\)。

二是求字串的最小迴圈節，將本來的枚舉約數改為上述演算法，那就只用枚舉\(O(\lg n)\)種長度。