hihoCoder #1162 : 骨牌覆蓋問題·三 （矩陣快速冪，DP）

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題意：有一個k*n的棋盤，要求用1*2的骨牌來鋪滿，有多少種方案？（k<8，n<100000001）

 

 

思路：

　　由於k是比較小，但是又不那麼小，可以專門構造這樣的一個矩陣M，使得只要我們有一個初始矩陣R，求得ans矩陣，然後答案就在ans中了。ans=R*Mn。

　　M的大小應該是2k*2k，所以當k稍微大一些就不合適儲存這個矩陣了，而且裡面大部分都是0，很浪費。由於k<8，所以M的大小為128*128是可以接受的。複雜度是O(23*k*logn)，大概是千萬層級的。

 

 

 

 1 #include <bits/stdc++.h> 2 #define pii pair<int,int> 3 #define INF 0x3f3f3f3f 4 #define LL long long 5 using namespace std; 6 const int N=21000; 7 const int mod=12357; 8 int k, n; 9 int M[130][130], grid[130][130], tot[130][130], cur[130][130];10 11 void DFS(int x,int y,int col)   //構造矩陣M。12 {13     if(col==k)14     {15         M[y][x]=1;              //表示y可以轉移到x16         return ;17     }18     DFS(x<<1, (y<<1)+1, col+1);                      //不放19     DFS((x<<1)+1, y<<1, col+1);                      //放豎20     if(col+2<=k)    DFS((x<<2)+3, (y<<2)+3, col+2);  //放橫21 }22 23 void mul(int A[][130],int B[][130])24 {25     for(int i=0; i<(1<<k); i++)26     {27         for(int j=0; j<(1<<k); j++)28         {29             int tmp=0;30             for(int q=0; q<(1<<k); q++)31             {32                 tmp+=A[i][q]*B[q][j];33                 tmp%=mod;34             }35             grid[i][j]=tmp;36         }37     }38     memcpy(A, grid, sizeof(grid));39 }40 41 42 int cal(int t)  //注意t=n-143 {44     memset(M, 0, sizeof(M));45     memset(tot, 0, sizeof(tot) );46     memset(cur, 0, sizeof(cur) );47     DFS( 0, 0, 0);   //求矩陣。48     memcpy(cur, M, sizeof(M));49     while(t)50     {51         if(t&1) mul(M, cur);    //該位為152         mul(cur, cur);  //矩陣自乘53         t>>=1;54     }55     return M[(1<<k)-1][(1<<k)-1];   //矩陣很特殊，只需要這一項。56 }57 58 int main()59 {60     //freopen("input.txt", "r", stdin);61     while(~scanf("%d%d", &k, &n))    printf("%d\n", cal(n-1));62     return 0;63 }

AC代碼

 

hihoCoder #1162 : 骨牌覆蓋問題·三 （矩陣快速冪，DP）