華為OJ平台——放蘋果（典型整數劃分問題）

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題目描述：

輸入m,n，分別表示蘋果數與盤子的總數，要求輸出蘋果放在n個盤子的方法總數（注意511和151是一種情況），例如輸入 7 3 輸出8（（7），（6,1），（5,2），（4,3），（5,1,1），（4,2,1），（3,3,1），（3,2,2））

思路：

最典型的解法整數分解，例如給定n個蘋果，把蘋果放到k個盤子裡，允許有的盤子為空白，不妨設 f（n , k ) (邊緣條件為當 n = 0 ，1時，返回1，當 k = 1 時，返回1）表示結果，分析一下可以知道有兩种放的方法，一種是有空盤，一種是沒空盤。

沒空盤的情況可以知道每個盤子裡至少有一個蘋果，也就是說這種情況的總數為 f ( n-k , k ) 。

而有空盤的情況，我們可以假設最後一個盤子為空白，則這種情況的總數為f ( n , k-1 ) (無需考慮多個盤子為空白的情況，遞迴時必然會出現）

所以狀態轉移方程為 f ( n , k ) = f ( n-k , k ) + f ( n , k-1 )

 1 import java.util.Scanner; 2  3 /** 4  * 把M個同樣的蘋果放在N個同樣的盤子裡，允許有的盤子空著不放， 5  * 問共有多少種不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一種分法。 6  */ 7 public class PlayApples { 8  9     public static void main(String[] args) {10         //輸入讀取參數11         Scanner cin = new Scanner(System.in) ;        12         int apples = cin.nextInt() ;13         int planes = cin.nextInt() ;14         cin.close();15         16         System.out.println(count(apples,planes)) ;17 18     }19 20     /**21      * 最典型的整數分解22      * 例如給定n個蘋果，把蘋果放到k個盤子裡，允許有的盤子為空白， 不妨設 f（m , n ) 23      * (邊緣條件為當 m == 0 ，1時，返回1，當 n == 1 時，返回1）表示結果，24      * 分析一下可以知道有兩中放的方法，一種是有空盤，一種是沒空盤，25      * 沒空盤的情況可以知道每個盤子裡至少有一個蘋果，也就是說這種情況的總數為 f ( n-k , k ) 。26      * 而有空盤的情況，我們可以假設最後一個盤子為空白，則這種情況的總數為f ( n , k-1 ) (無需考慮多個盤子為空白的情況，遞迴時必然會出現）27      * 所以狀態轉移方程為 f ( n , k ) = f  ( n-k , k ) +  f ( n , k-1 )。28      * 29      * 而如果是不允許有空盤子的情況，則可以由上面的情況推出，30      * 設 d ( n , k ) 表示把n個蘋果放到k個盤子裡，不允許有空盤子的方法總數，31      * 則有f ( n , k ) =  Σ (  1 <= i <= k ) d ( n , i ) 32      * 所以 d ( n , k ) = f ( n , k ) - f ( n , k-1 )33      * 34      * @param m  蘋果數量35      * @param n  盤子數量36      * @return37      */38     private static int count(int m, int n) {39         //n為0 是錯誤的，故返回040         if(n == 0){41             return 0 ;42         }43         //m == 0,1時和 n == 1時均只有一种放法44         if(m == 0 || n == 1 || m == 1 ){45             return 1 ;46         }else if(m < 0){47             //m < 0 時，也是錯誤的情形，所以返回048             return 0 ;49         }else{50             //遞迴調用51             return count(m-n,n) + count(m,n-1) ;52         }    53     }54 }

Code

 

擴充：

而如果是不允許有空盤子的情況，則可以由上面的情況推出，設 d ( n , k ) 表示把n個蘋果放到k個盤子裡，不允許有空盤子的方法總數，則有

f ( n , k ) = Σ ( 1 <= i <= k ) d ( n , i ) 所以 d ( n , k ) = f ( n , k ) - f ( n , k-1 )

華為OJ平台——放蘋果（典型整數劃分問題）