閑扯原碼、反碼、補碼)

相信大家看到這個標題都不屑一顧，因為在任何一本電腦基礎知識書的第一章都有他們的解釋，但是在書上我們只能找到一些簡單的定義，沒次看過之後不久就忘了。最近論壇裡有人問起這些概念，看到很多人的回複是以前看過現在忘了去看看某某書之類，很少有給出一個合理的解釋。於是本人就開始思考（雖然上帝會發笑，我還是要思考。），於是得出了以下的結論。

     數值在電腦中表示形式為機器數,電腦只能識別0和1,使用的是二進位,而在日常生活中人們使用的是十進位,"正如亞裡士多德早就指出的那樣,今天十進位的廣泛採用,只不過我們絕大多數人生來具有10個手指頭這個解剖學事實的結果.儘管在曆史上手指計數(5,10進位)的實踐要比二或三進位計數出現的晚."(摘自<<數學發展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).為了能方便的與二進位轉換,就使用了十六進位(2 4)和八進位(23).下面進入正題.

在電腦系統中，數值一律用補碼來表示（儲存）。 
主要原因：使用補碼，可以將符號位和其它位統一處理；同時，減法也可按加法來處理。另外，兩個用補 
碼錶示的數相加時，如果最高位（符號位）有進位，則進位被捨棄。 
補碼與原碼的轉換過程幾乎是相同的。 
數值的補碼錶示也分兩種情況： 
（1）正數的補碼：與原碼相同。 
      例如，+9的補碼是00001001。 
（2）負數的補碼：符號位為1，其餘位為該數絕對值的原碼按位取反；然後整個數加1。 
      例如，-7的補碼：因為是負數，則符號位為“1”,整個為10000111；其餘7位為-7的絕對值+7的原碼 
     0000111按位取反為1111000；再加1，所以-7的補碼是11111001。 
已知一個數的補碼，求原碼的操作分兩種情況： 
（1）如果補碼的符號位為“0”，表示是一個正數，所以補碼就是該數的原碼。 
（2）如果補碼的符號位為“1”，表示是一個負數，求原碼的操作可以是：符號位為1，其餘各位取反，然後再整個數加1。 
     例如，已知一個補碼為11111001，則原碼是10000111（-7）：因為符號位為“1”，表示是一個負數，所以該位不變，仍為   “1”；其餘7位1111001取反後為0000110；再加1，所以是10000111。

     數值有正負之分,電腦就用一個數的最高位存放符號(0為正,1為負).這就是機器數的原碼了.假設機器能處理的位元為8.即字長為1byte,原碼能表示數值的範圍為

(-127~-0 +0~127)共256個.

  有了數值的表示方法就可以對數進行算術運算.但是很快就發現用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題,如下: 假設字長為8bits

( 1 ) 10-  ( 1 )10 =  ( 1 )10 + ( -1 )10 =  ( 0 )10

(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.

  因為在兩個整數的加法運算中是沒有問題的,於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上,對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼.反碼的取值空間和原碼相同且一一對應. 下面是反碼的減法運算:

 ( 1 )10 -  ( 1 ) 10=  ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10=  ( 0 )10

 (00000001) 反+ (11111110)反 =  (11111111)反 =  ( -0 )  有問題.

( 1 )10 -  ( 2)10 =  ( 1 )10 + ( -2 )10 =  ( -1 )10

(00000001) 反+ (11111101)反 =  (11111110)反 =  ( -1 ) 正確

問題出現在(+0)和(-0)上,在人們的計算概念中零是沒有正負之分的.(印度人首先將零作為標記並放入運算之中,包含有零號的印度數學和十進位計數對人類文明的貢獻極大).

於是就引入了補碼概念. 負數的補碼就是對反碼加一,而正數不變,正數的原碼反碼補碼是一樣的.在補碼中用(-128)代替了(-0),所以補碼的表示範圍為:

(-128~0~127)共256個.

注意:(-128)沒有相對應的原碼和反碼, (-128) = (10000000)  補碼的加減運算如下:

( 1 ) 10-  ( 1 ) 10=  ( 1 )10 + ( -1 )10 =  ( 0 )10

(00000001)補 + (11111111)補 =  (00000000)補 = ( 0 ) 正確

( 1 ) 10-  ( 2) 10=  ( 1 )10 + ( -2 )10 =  ( -1 )10

(00000001) 補+ (11111110) 補=  (11111111)補 = ( -1 )  正確

   所以補碼的設計目的是:

     ⑴使符號位能與有效值部分一起參加運算,從而簡化運算規則.

⑵使減法運算轉換為加法運算,進一步簡化電腦中運算器的線路設計

  所有這些轉換都是在電腦的最底層進行的，而在我們使用的彙編、C等其他進階語言中使用的都是原碼。看了上面這些大家應該對原碼、反碼、補碼有了新的認識了吧！

出處：http://blog.csdn.net/fengzi_zhu/archive/2003/03/31/14337.aspx