圖的單源最短路徑演算法

概述假如你有一張地圖，地圖上給出了每一對相鄰城市的距離，從一個地點到另一個地點，如何找到一條最短的路？最短路演算法要解決的就是這類問題。定義：給定一個有（無）向圖，每一條邊有一個權值w，給定一個起始點S和終止點T，求從S出發走到T的權值最小路徑，即為最短路徑。最短路徑演算法依賴一種性質：一條兩頂點間的最短路徑包含路徑上其他最短路徑。最簡單的說就是：最短路徑的子路徑是最短路徑。鬆弛技術鬆弛技術本質上是一個貪心操作。鬆弛操作：對每個頂點v屬於V,都設定一個屬性d[v],用來描述從源點s到v的最短路徑上權值的上界，稱為最短路徑估計(shortest-path estimate)，同時parent[v]代表前趨。初始化虛擬碼：

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)for each vertex v (- V[G]dod[v] <- INFparent[v] <- NULLdoned[s] <- 0

初始化後，對所有v屬於V，parent[v] = NULL,對v屬於{V - {s}}，有d[s] = 0 以及d[v]=無窮。鬆弛一條邊(u, v)，如果這條邊可以對最短路徑改進，則更新d[v]和parent[v]。一次鬆弛操作可以減少最短路徑估計的值d[v]，並更新v的前趨域parent[v].下面的虛擬碼對邊(u, v)進行了一步鬆弛操作：

RELAX(u, v, w)if d[v] > d[u] + w(u, v)thend[v] <- d[u] + w(u, v)parent[v] <- ufi

所示中，左邊例子，最短路徑估計值減小，右邊例子，最短路徑估計值不變。當發現v到u有更近的路徑時，更新d[v]和parent[v]Dijkstra演算法解決最短路徑問題，最經典的演算法是Dijkstra演算法，它是一種單源最短路徑演算法，其核心思想是貪心演算法(Greedy Algorithm)。Dijkstra演算法要求所有邊的權值非負演算法思想設G = (V, E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合(用S表示，初始時S中只有一個源點，以後每求得一條最短路徑，就將其加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，演算法就結束了);第二組為其餘未確定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度虛擬碼

Dijkstra(G, w, s)INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)S <- 空集Q <- V[G]while Q != 空集dou <- EXTRACT-MIN(Q)S <- S && {u}for each vertex v (- Adj[u]doRELAX(u, v, w)donedone

Dijkstra演算法時間主要消耗在尋找最小權值的邊，和鬆弛所有剩餘邊，所以EXTRACT-MIN（Q）這一步，更好的方法是使用優先隊列，優先隊列可以使用二元堆積演算法描述

1. 假設用帶權的鄰接矩陣arcs來表示帶權有向圖，arcs[i][j]表示弧<vi, vj>上的權值。若<vi, vj>不存在，則置arcs[i][j]為無窮(在電腦上可用允許的最大值代替)。S為已找到從v出發的最短路徑的終點的集合，它的初始狀態為空白集。那麼，從v出發到圖上其餘各頂點（終點）vi可能達到的最短路徑長度的初值為：D[I] = arcs[src][i] vi (- V
2. 選擇vj，使得D[j] = Min{D[i] | vi (- V - S},vj就是當前求得的一條從v出發的最短路徑的終點。令S = S && {j}
3. 修改從v出發到集合V - S上任一頂點vk可達的最短路徑長度。如果 D[j] + arcs[j][k] < D[k],則修改D[k] = D[j] + arcs[j][k]
4. 重複操作2、3共n-1次。由此求得從v到圖中其餘各頂點的最短路徑長度是依路徑長度遞增的序列

實現代碼（c語言）

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>// 圖頂點的最大值#define NODE 102// 邊權值的最大值#define MAX 10002// 鄰接矩陣儲存圖int map[NODE][NODE];// 記錄src到其它各個頂點的最短路徑長度int dis[NODE];// 標記數組，判斷哪些src到哪些頂點的最短路徑已經求出int mark[NODE];/** * 用Dijkstra演算法求圖map的src到其餘頂點的最短路徑 * src為單源頂點，n為圖中頂點個數 */void dijkstra(int src, int n){int i, j, min, k, tmp;// 初始化for (i = 0; i < n; i ++) {dis[i] = map[src][i];mark[i] = 0;}dis[src] = 0;mark[src] = 1;// n-1次主迴圈，每次迴圈求得src到某個頂點v的最短路徑for (i = 1; i < n; i ++) {min = MAX;k = src;for (j = 0; j < n; j ++) {if (!mark[j] && dis[j] < min) {k = j;min = dis[j];}}mark[k] = 1;// 更新src到其它各頂點的最短路徑for (j = 0; j < n; j ++) {tmp = map[k][j] + dis[k];if (tmp < dis[j] && mark[j] == 0) {dis[j] = tmp;}}}}

參考題目連結http://blog.csdn.net/zinss26914/article/details/8842600