無窮小能否帶領我們直接走向今日科學之輝煌？

    曆史不能重演，這是毫無疑問的。數學是一門基礎學科，影響到今日科學技術的方方面面，可以說，沒有數學的進步就沒有今日之科學。

       曆史上，萊布尼茲發明了無窮小（理想數），基於無窮小又建立了微積分學。這是曆史事實。我們的問題是，如果後來沒有（ε，δ）極限論，能否有今日科學技術的輝煌？初看起來，這個問題很荒唐，毫無意義。但是，也不盡然。

         在數學發展曆史上，歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）的貢獻是非常巨大的，特別是，對於物理學的研究。在數學上，歐拉是萊布尼茲無窮小的忠實信徒，有著許多重要的研究成果，涉及到科學技術的方方面面，比如，複變函數理論的建立，為流體動力學奠定了理論基礎，進一步為現代航天事業打下了根基。可是，歐拉的學多數學成就是建立在萊布尼茲無窮小演算（Infinitesimal
Calculus）之上的，沒有（ε，δ）極限論，能否保留這些寶貴的數學成果呢？

       以下，我們舉例說明。在歐拉的數學著作裡面，對指數函數微分的推導如下：

d(exp(x))= exp(x+dx) – exp(x)
（注意：此處dx是無窮小）

                     
=exp(x)(exp(dx) – 1) （提出公因子exp(x)))

                      
=exp(x)(dx + (dx平方)/2！+（dx立方）/3！+…)

                    
=exp(x)dx

      在（ε，δ）極限論者看來，這是完全錯誤的數學推理。那些dx的高次方為什麼被捨棄？這就是萊布尼茲無窮小演算的“瑕疵”，多被後人所“詬病”。

          我們設想，假定曆史始終沿著萊布尼茲無窮小的軌跡前進，其間沒有（ε，δ）極限論的出現，到了1960年A.Robinson建立了《非標準分析》，為無窮小奠定了嚴密的邏輯基礎。至此，歐拉的許多數學研究成果也能得以完好地儲存下來。實際上，在超實數系*R裡面，歐拉的上述推理過程是很容易解釋的，在等式兩端取超實數的”標準部分“（運用st函數）就可以把無窮小的高次方去掉了，在超實數系裡面，這是完全正確的數學推理。

            根據以上分析，我們可以看出，如果沒有（ε，δ）極限論的出現，萊布尼茲的無窮小演算也能把我們帶到現代科學技術的繁榮階段。曆史發展出現“拐彎”現象是很正常的。現在，我們正處在微積分又一次發生“拐彎”的曆史階段，只是我們渾然不知罷了。