補零位置的不同對頻譜的影響

補零的在很多時候都能用到，然而在不一樣的位置補零產生的影響是不一樣的。

補零主要有前面補零，後面補零和中間補零。

我們設原序列為x(n),前面補零後的序列為xq(n)  後面補零後的序列為xh(n)    中間補零後的序列為xz(n) ；

四個序列的DTFT分別為X(jw),XQ(jw),XH(jw),XZ(jw)  ；

四個序列的DFT分別為X(K),XQ(k),XH(k),XZ(k)。

  

(1)後面補零：這是就簡單的情況，由離散時間傅裡葉變換公式，可以知道前面補零和不補零產生的頻譜是一樣的。即X(jw)=XH(jw),又根據DFT是對離散時間傅裡葉變換頻譜上的採樣,即X(k)=X(jw)在w=2π/N*k，

得：X(k)和XH(k)的差別就是XH(k)相對於X(k)多採樣了幾個點，

原因是X(K)是X(jw)在w=2π/N*k的採樣值，而XH(k)是XH(jw){也就是X(jw)}
 

在w=2π/M*k(M>N)的採樣值。

(2)前面補零:關於此時DTFT，XQ(jw)=X(jw)*e^(-jwM)（M表示補零的個數），就是XQ(jw)和X(jw)幅值是一樣的，

    區別在於，有相位的位移。結合DFT是DTFT頻域上的採樣（X(k)=X(jw)在w=2π/N*k）

XQ(k),X(k)幅值上也是一樣的，但相位有位移。

(3)中間補零：此時的DTFT，XZ(jwL)=X(jw)(L表示相鄰中間插入0的個數)，我們知道XZ(jw)是以2π為周期的，

所以看出XZ(jw)是以2π/Lw為周期的。同理，DFT時XZ(k)=X(Lk),相當於X3(k)對X(k)採樣，

採樣間隔為L+1。即不論幅值還是相位XZ(k)都是X(Lk)的採樣。所以在相同地區中，XZ(k)的

周期數是X(k)的L+1倍。

下面是用matlab進行驗證：

clear all
close all
clc
%總共補20個零
n=0:9;
x=cos(0.32*pi*n)+cos(0.36*pi*n);
y=fft(x,10);
subplot(211)
stem(0:9,abs(y));
xlabel('k');
ylabel('幅值')
title('原始序列');
subplot(212)
xw=angle(y)*180/pi;
stem(0:9,xw);
xlabel('k');
ylabel('相位')
title('原始序列');

figure
%% 後面補零
x1=[x zeros(1,20)];
y1=fft(x1,30);
subplot(321)
stem(0:29,abs(y1));  %後面補零，幅值
xlabel('k');
ylabel('幅值')
title('後面補零');

subplot(322)
xw1=angle(y1)*180/pi;
stem(0:29,xw1);  %後面補零，相位
xlabel('k');
ylabel('相位')
title('後面補零');

%% 前面補零
x2=[zeros(1,20) x];
y2=fft(x2,30);
subplot(323)
stem(0:29,abs(y2));   %前面補零，幅值
xlabel('k');
ylabel('幅值')
title('前面補零');

subplot(324)
xw2=angle(y2)*180/pi;
stem(0:29,xw2);  %前面補零，相位
xlabel('k');
ylabel('相位')
title('前面補零');

%% 中間補零
x3=zeros(1,30);
x3(3*n+1)=x(n+1);
y3=fft(x3,30);
subplot(325)
stem(0:29,abs(y3));   %中間補零，幅值
axis([0 30 0 15])
xlabel('k');
ylabel('幅值')
title('中間補零');

subplot(326)
xw3=angle(y3)*180/pi;
stem(0:29,xw3);  %中間補零，相位
xlabel('k');
ylabel('相位')
title('中間補零');

（1）可以明顯看到，前面補零，後面補零的幅值是一樣的，相位是有位移性(主要性狀沒變)；而且和原始序列相比，相當於多採樣了幾個點。

（2）中間補零的話，也可看出，幅值和相位均是後面補零的採樣值（每個3個，因為L=2）。並且周期數也是它們的三倍。