資訊表示和處理 from computer system chapter 2

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1、整數的表示 大部分（所有？）機器 有符號數是補碼錶示。

 

2、整數的運算。+ -就是+-，按位加減，注意有符號和無符號的數值溢出，*/ 可以轉換成移位等 同樣是有位的截斷，可以先十進位計算換成2進位再截斷。

 

3、實際上是一種模運算，注意字長導致截斷。

 

4、浮點數的表示：

單精確度為例：32位，1位的符號位，8位指數位（無符號 書上說的實際值是他-127即範圍是-127-128，網上是錯的-128-127），23位的尾數，因為尾數小數點前是1，所以省略，計算時加1.

無窮和除 NaN 以外的其它浮點數一樣是有序的，從小到大依次為負無窮，負的有窮非零值，正負零（隨後介紹），正的有窮非零值以及正無窮。除 NaN 以外的任何非零值除以零，結果都將是無窮，而符號則由作為除數的零的符號決定。

回顧我們對 NaN 的介紹，當零除以零時得到的結果不是無窮而是 NaN 。原因不難理解，當除數和被除數都逼近於零時，其商可能為任何值，所以 IEEE 標準決定此時用 NaN 作為商比較合適。

 

5、特殊值：我們已經知道，指數域實際可以表達的指數值的範圍為 -127 到 128 之間（包含兩端）。其中，值 -127（儲存為 全 0）以及 +128（儲存為全 1）保留用作特殊值的處理。

 

6、非正常化數

我們來考察浮點數的一個特殊情況。選擇兩個絕對值極小的浮點數，以單精確度的二進位浮點數為例，比如 1.001 × 2-125 和 1.0001 × 2-125 這兩個數（分別對應於十進位的 2.6448623 × 10-38 和 2.4979255 × 10-38）。顯然，他們都是普通的浮點數（指數為 -125，大於允許的最小值 -126；尾數更沒問題），按照 IEEE 754 可以分別儲存為 00000001000100000000000000000000（0x1100000）和 00000001000010000000000000000000（0x1080000）。

現在我們看看這兩個浮點數的差值。不難得出，該差值為 0.0001 × 2-125，表達為規範浮點數則為 1.0 × 2-129。問題在於其指數大於允許的最小指數值，所以無法儲存為規範浮點數。最終，只能近似為零（Flush to Zero）。這中特殊情況意味著下面本來十分可靠的代碼也可能出現問題：

if (x != y) {
 z = 1 / (x -y);
}

正如我們精心選擇的兩個浮點數展現的問題一樣，即使 x 不等於 y，x 和 y 的差值仍然可能絕對值過小，而近似為零，導致除以 0 的情況發生。

為瞭解決此類問題，IEEE 標準中引入了非規範（Denormalized）浮點數。規定當浮點數的指數為允許的最小指數值，即 emin 時，尾數不必是正常化的。比如上面例子中的差值可以表達為非規範的浮點數 0.001 × 2-126，其中指數 -126 等於 emin。注意，這裡規定的是"不必"，這也就意味著"可以"。當浮點數實際的指數為 emin，且指數域也為 emin 時，該浮點數仍是規範的，也就是說，儲存時隱含著一個隱藏的尾數位。為了儲存非規範浮點數，IEEE 標準採用了類似處理特殊值零時所採用的辦法，即用特殊的指數域值 emin - 1 加以標記，當然，此時的尾數域不能為零。這樣，例子中的差值可以儲存為 00000000000100000000000000000000（0x100000），沒有隱含的尾數位。

 

7、有符號的零

因為 IEEE 標準的浮點數格式中，小數點左側的 1 是隱藏的，而零顯然需要尾數必須是零。所以，零也就無法直接用這種格式表達而只能特殊處理。

實際上，零儲存為尾數域為全為 0，指數域為 emin - 1 = -127，也就是說指數域也全為 0。考慮到符號域的作用，所以存在著兩個零，即 +0 和 -0。不同於正負無窮之間是有序的，IEEE 標準規定正負零是相等的。

零有正負之分，的確非常容易讓人困惑。這一點是基於數值分析的多種考慮，經利弊權衡後形成的結果。有符號的零可以避免運算中，特別是涉及無窮的運算中，符號資訊的丟失。舉例而言，如果零無符號，則等式 1/(1/x) = x 當x = ±∞ 時不再成立。原因是如果零無符號，1 和正負無窮的比值為同一個零，然後 1 與 0 的比值為正無窮，符號沒有了。解決這個問題，除非無窮也沒有符號。但是無窮的符號表達了上溢發生在數軸的哪一側，這個資訊顯然是不能不要的。零有符號也造成了其它問題，比如當 x=y 時，等式1/x = 1/y 在 x 和 y 分別為 +0 和 -0 時，兩端分別為正無窮和負無窮而不再成立。當然，解決這個問題的另一個思路是和無窮一樣，規定零也是有序的。但是，如果零是有序的，則即使 if (x==0) 這樣簡單的判斷也由於 x 可能是 ±0 而變得不確定了。兩害取其輕者，零還是無序的好。

 

8、NaN

NaN 用於處理計算中出現的錯誤情況，比如 0.0 除以 0.0 或者求負數的平方根。對於單精確度浮點數，NaN 表示為指數為 emax + 1 = 128（指數域全為 1），且尾數域不等於零的浮點數。IEEE 標準沒有要求具體的尾數域，所以 NaN 實際上不是一個，而是一族。

 

9、無窮

和 NaN 一樣，特殊值無窮（Infinity）的指數部分同樣為 emax + 1 = 128，不過無窮的尾數域必須為零。無窮用於表達計算中產生的上溢（Overflow）問題。比如兩個極大的數相乘時，儘管兩個運算元本身可以用儲存為浮點數，但其結果可能大到無法儲存為浮點數，而必須進行舍入。根據 IEEE 標準，此時不是將結果舍入為可以儲存的最大的浮點數（因為這個數可能離實際的結果相差太遠而毫無意義），而是將其舍入為無窮。對於負數結果也是如此，只不過此時舍入為負無窮，也就是說符號域為 1 的無窮。

 

 10、尾數域為不全為 0 emin - 1 = -127，指數域全為 0，不存在，因為可以用非規範的表示。    我的理解。

 

11、浮點數的計算：這種運算通常伴隨著因為無法精確表示而進行的近似或舍入。

 

+-：兩浮點數進行加法和減法的運算規則是設 Ex小於等於Ey，則 x±y = (Mx*2^(Ex－Ey)±My)*2^Ey,  舍入處理

 

 http://blog.csdn.net/b2b160/article/details/4492519

http://www.cnblogs.com/kingwolfofsky/archive/2011/07/21/2112299.html

http://baike.baidu.com/view/339796.htm

 

資訊表示和處理 from computer system chapter 2