積最大的整數分解

1.問題描述

    把2010分解為若干個互不相同的正整數之和，使這些互不相同的正整數之積最大。

 

2.設計要點

    進行一般化處理，把指定正整數n分解為若干個互不相同的正整數之和，使這些互不相同的正整數之積最大。

    設使積最大的化零分解中，最小零數為c，最大零數為d。

    ⑴c>1。若c=1，去掉零數1，把1加至最大零數，顯然積會增大。

    ⑵零數按由小到大排列，從c到d的零數序列中，中間的空數（不在零數序列中的數）不能多於1個。

          設序列中有兩個空數x、y，滿足a(i)<x<y<a(j)，其中a(i)、a(j)為零數序列中的項(i<j)，x=a(i)+1，y=a(j)-1。因a(i)+a(j)=x+y，而

                            a(j)>a(i)+1 => x*y = (a(i)+1)*(a(j)-1) > a(i)*a(j)

          即把a(i)、a(j)兩個零數分別換成x、y後，和不變而積增加，與所設各人最大矛盾。

    ⑶c<4，即c只能取2、3。

          若c=4，此時若5在序列中，把5化為2+3，積增加；若5不在序列中而6在序列中，把4、6化為2、3、5，顯然和不變而積增加；若5、6都不在序列中，與上述⑵矛盾。

          若c>4，把c化為2與c-2，顯然2(c-2)>c，積增加。

    因此，把指定的n轉化為以2或3開始的連續的或至多一個空數的正整數序列，相應的積達最大。

 

3.代碼實現

#include "stdafx.h"<br />#include <math.h> </p><p>// 積最大的整數分解程式設計<br />int main(void)<br />{<br />int a, c, d, h, k, n, s;<br />double t;</p><p>printf("把正整數n分解為若干個互不相同的正數數之和，使積最大。/n");<br />printf("請輸入正整數n：");<br />scanf("%d", &n);</p><p>s = 0; h = 0; a = 1;<br />while (s <= n) {// 此時s-n可能為1,2,...,a<br />a++;<br />s += a;<br />}<br />if (s - n == a) {// n分解為2至a-1的連續序列<br />c = 2;<br />d = a - 1;<br />}<br />else if (s - n == 2) {// n分解為3至a的連續序列<br />c = 3;<br />d = a;<br />}<br />else if (s - n == 1) {// n分解為3至a+1（不含a）<br />c = 3;<br />d = a + 1;<br />h = a;<br />}<br />else {// n分解為2至a（不含s-n）<br />c = 2;<br />d = a;<br />h = s - n;<br />}</p><p>printf("%d分解為：%d--%d", n, c, d);<br />if (h > 0)<br />printf("（不包含其中的數%d）", h);<br />printf("/n其積最大為：");<br />t = 1;<br />for (k = c; k <= d; k++)<br />t *= k;<br />if (h > 0)<br />t /= h;</p><p>printf("%.0f/n", t);</p><p>return 0;<br />}