整數劃分解題報告

--- 整數劃分解報告 ---- By Debugcool
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1.問題描述：
    給定一個正整數N和K

    1.> 將n劃分成若干正整數之和的劃分數。
    2.> 將n劃分成k個正整數之和的劃分數。
    3.> 將n劃分成最大數不超過k的劃分數。
    4.> 將n劃分成若干奇正整數之和的劃分數。
    5.> 將n劃分成若干不同整數之和的劃分數。

2.問題分類：總的來說這些都是背包問題；

第一個問：就是一個完全背包，背包有 1 --- N 種，第 i 種背包的重量為 i ，價值為 i ；這很好解決：

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= N;i++)
            for (j = i;j <= N;j++)
                dp[j] += dp[j-i];
其中 dp[j] 是用前 i 個數能構成 j 的種類數，則結果就為 dp[N]

看完這個問題了，那麼 第3個問就知道了 ， 即用前 K 種背包來裝 所得結果，只需把第一層迴圈的 i <= N 改為 i <= K 即可；

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= K;i++)
            for (j = i;j <= N;j++)
                dp[j] += dp[j-i];   結果同樣為 dp[N] ;

那麼第四個問呢，想想是奇數，那麼 i = 2，4，6，…… 等等值就不能取了，因為這些背包種類不合要求，這很簡單啊  i++ 改為 i += 2 不就行了；

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= N;i+=2)
            for (j = i;j <= N;j++)
                dp[j] += dp[j-i];   結果同樣為 dp[N] ;

再看看第五個問，若干個不同的？？？想到了什麼，就是一種背包最多隻能用一次？？？這是什麼，經典的 01背包 啊，與第一個問的不同就是第二層迴圈的順序而已；

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= N;i++)
            for (j = n;j >= i ;j--)
                dp[j] += dp[j-i];

最後我們來思考第二個問：
         
   要求只要 K 個，這怎麼辦呢？？？想想特殊情況…… 如果 K = 1 呢，只能是 N 咯，若果 N = 0 呢， 結果只能是 0 中可能啊，那同樣N < K 的話，不可能分啊 結果為 0 ，好，特殊的考慮完了，那麼我們再考慮，分的結果中有沒有 1 ， 如果有 那麼就把剩下的 N - 1 分成 K - 1 份 ， 如果沒有呢，那麼我們先拿出 K 份 給每一堆 一個1， 再把剩下的 N - K 分成 K 份就行了啊，好了，至此，遞迴方法出來了：  

int work(int n,int k)
{
    if (k == 1)
        return 1;
    if (n == 0)
        return 0;
    if (n < k)
        return 0;
    return work(n-k,k) + work(n-1,k-1);
}
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總結：背包問題是基礎啊~~~

Debugcool---------------