整數劃分問題（遞迴法）

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整數劃分問題是演算法中的一個經典命題之一，有關這個問題的講述在講解到遞迴時基本都將涉及。所謂整數劃分，是指把一個正整數n寫成如下形式：

    n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數，並且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}為n的一個劃分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的一個m劃分。這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);

例如但n=4時，他有5個劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同一個劃分。

該問題是求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;

1.遞迴法：

   根據n和m的關係，考慮以下幾種情況：

   (1)當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種劃分即{1};

   (2)當m=1時，不論n的值為多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,...,1};

   (3)當n=m時，根據劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：

      (a)劃分中包含n的情況，只有一個即{n}；

      (b)劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。

      因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);//這裡就根據f的定義，由於劃分中不包含n，最大的數字一定比n小，即比m小，所以f中第二個數為最接近n的數——n-1，而前一個數就是n，因為是對n進行劃分，具體與下面f(n-m,m)處道理一樣（個人理解，求不吐槽）

   (4)當n<m時，由於劃分中不可能出現負數，因此就相當於f(n,n);

   (5)但n>m時，根據劃分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況：

       (a)劃分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和為n-m，因此這情況下

          為f(n-m,m)//這裡開始一直看不懂，後來才明白一些：注意這裡的前提是劃分包含m，所以將m提出來一個，保證劃分中一定會有m，剩下數字劃分的和為n-m，而這n-m中可能不會出現m，也可能出現m，但由於我們已經提出了一個m，所以此處不用擔心m是否再出現。根據f的定義，後f中的第二個數就是m了，而第一個數為什麼是（n-m）,原因是提出一個m後，已經保證了劃分中一定出現m，而n-m還沒有進行劃分，這裡忽略提出的m，對剩下的整數n-m進行劃分，劃分的最大值仍然是m

       (b)劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數為f(n,m-1);

      因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

      綜上所述：

                             f(n, m)=   1;              (n=1 or m=1)

               f(n,m)   =    f(n, n);                   (n<m)

                             1+ f(n, m-1);              (n=m)

                             f(n-m,m)+f(n,m-1);         (n>m)

#include<iostream>
using namespace std;

int equationCount(int n,int m)
{
if(n==1||m==1)
return 1;
else if(n<m)
return equationCount(n,n);
else if(n==m)
return 1+equationCount(n,n-1);
    else
return equationCount(n,m-1)+equationCount(n-m,m);
}

int main(void)
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&(n>=1&&n<=120))
    {
        printf("%d\n",equationCount(n,n));
    }
return 0;
}