複變函數系列（三 ） - 複變函數的積分

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目錄

• 複變函數的積分
  • 1. 有關的幾個定理與公式
    • 1.1 C-R 方程
    • 1.2 C-G 定理
    • 1.3 圈圈公式
    • 1.4 複合閉路定理
    • 1.5 Cauchy積分公式
    • 1.6 高階導數公式
    • 1.7 Laplace方程
  • 2. 常見形式的複變函數積分
    • [A] \(\int_cf(z)dz\) : 簡單非閉合曲線積分
    • [B] \(\oint_cf(z)dz\) : 任意函數閉合曲線積分
    • [C1] \(\oint_c\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz\) : 純分母奇點函數積分 - 單奇點
    • [C2] \(\oint_c \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 純分母奇點函數積分 - 多奇點
    • [D1] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz\) : 帶分子變數分母奇點函數積分 - 一次單奇點
    • [D2] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 帶分子變數分母奇點函數積分 - 一次多奇點
    • [D3] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz\) : 帶分子變數分母奇點函數積分 - 高次單奇點
    • [D4] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)^2(z-z_2)^3}dz\) : 帶分子變數分母奇點函數積分 - 高次多奇點
  • 3. 調和函數與偏微分法

複變函數的積分

Author : Benjamin142857

Date : 2018/10/1

1. 有關的幾個定理與公式1.1 C-R 方程

Cauchy Riemann equation - 柯西黎曼方程，對於 \(f(z) = u + iv\)

\[\frac{\part u}{\part x} = \frac{\part v}{\part y} \\ \frac{\part u}{\part y} = -\frac{\part v}{\part x}\]

1.2 C-G 定理

Cauchy Goursat theorem - 柯西古薩定理，對於 \(f(z)\) 在D內解析
\[\oint_cf(z)dz=0\]

1.3 圈圈公式

\(c : |z-z_0|=r\)
\[\oint_{c}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}} = \begin{cases} 2\pi i，(n=0) \\ 0，(n\neq0)\end{cases}\]

1.4 複合閉路定理

\(c\) 含 \(n\) 個奇點，每個奇點可以畫個 \(c_k\) 小圓，\(k=1,2,...,n\)
\[\oint_cf(z)dz = \sum_{k=1}^n\oint_{c_k}f(z)dz\]

1.5 Cauchy積分公式

\(f(z)\) 在 \(z_0\) 連續
\[\oint_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2\pi if(z_0)\]

1.6 高階導數公式

\[f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\]

1.7 Laplace方程

拉普拉斯方程，對於函數 \(\phi(x, y)\)
\[\frac{\part^2\phi}{\part x^2} +\frac{\part^2\phi}{\part y^2}=0\]

2. 常見形式的複變函數積分[A] \(\int_cf(z)dz\) : 簡單非閉合曲線積分

一般題目所給出的積分路徑 \(c\) 在 \(f(z)\) 的解析地區內或 \(f(z)\) 全平面解析，根據 C-G定理，積分與路徑無關，轉為x,y重積分

例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(x\in [0\rightarrow 2])\)

\[\int_c \overline z dz \\= \int_{(0, 0)}^{(2,0)}x-iydz + \int_{(2, 0)}^{(2,8)}x-iydz \\= \int_0^2xdx + \int_0^8(2-iy)idy\\=34+8i\]

路徑未必在解析地區內的萬能做法，但計算複雜

例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(u(t)-u(t+2))\)

\(x = t\)，\(y = t^3\)，\(t\in (0,2)\)

\(z = t+it^3\)

\(f(z) = t-it^3\)

\(\int_c \overline z dz = \int_0^2t-it^3d(t+it^3) = \int_0^2t+3t^5+i2t^3dt=34+8i\)

[B] \(\oint_cf(z)dz\) : 任意函數閉合曲線積分

若在解析地區， C-G定理
\[\oint_C f(z)dz = 0\]

[C1] \(\oint_c\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz\) : 純分母奇點函數積分 - 單奇點

[圈圈公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

\[\oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz = 2\pi i\]

[C2] \(\oint_c \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 純分母奇點函數積分 - 多奇點

[複合閉路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy積分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

\[\oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz\\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 0\]

[D1] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz\) : 帶分子變數分母奇點函數積分 - 一次單奇點

[ 圈圈公式 + Cauchy積分公式 ]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

\[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz \\= \oint_{c}\frac{1}{(z-1)}dz \\= 2\pi i\]

[D2] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 帶分子變數分母奇點函數積分 - 一次多奇點

[複合閉路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy積分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

\[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{-1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 2\pi i\]

[D3] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz\) : 帶分子變數分母奇點函數積分 - 高次單奇點

[高階導數公式** + 圈圈公式 + **Cauchy積分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

\[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz \\= \frac{2\pi i}{4!}[z^{(4)}|_{z=1}]\\=0\]

[D4] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)^2(z-z_2)^3}dz\) : 帶分子變數分母奇點函數積分 - 高次多奇點

[高階導數公式** + 圈圈公式 + 複合閉路定理 + **Cauchy積分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz,\ \ \ c : |z|=3\)

\[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz \\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{(z-2)^3}}{(z-1)^2}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{(z-1)^2}}{(z-2)^3}dz\\=\frac{2\pi i}{1!}[(\frac{z}{(z-2)^3})^{(1)}|_{z=2}] + \frac{2\pi i}{2!}[(\frac{z}{(z-1)^2})^{(2)}|_{z=1}]\\=不想算\]

3. 調和函數與偏微分法

調和函數 \(\phi(x, y)\)

• 在地區內具有二階連續偏導
• 符合Laplace方程

[C-R方程]\(\Downarrow\)

地區內的解析函數 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 實部與虛部均為調和函數

地區內的解析函數的虛部為實部的共軛調和函數

偏微分法

通過 \(u\) \(\Rightarrow\) \(v\) \(\Rightarrow\) \(u+iv\) 或 通過 \(v\) \(\Rightarrow\) \(u\) \(\Rightarrow\) \(u + iv\)

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