趣題：尋找策略使得總有一人猜出他背上的數

正在上虛詞研究課，好友Chain發來簡訊說，北大BBS化學學院版上發了一道很有趣的謎題，已經上十大熱門話題第三了。我也是第一次看到這個題目，和大家分享一下。

話說周一某實驗室有16名同學，有一天*老師把大家叫到一起說：下周來做實驗的時候，我會給你們每個人背後貼一張紙，紙上的數字從1到16都有可能，不同同學背後的數字可以重複。你們每個人可以看到別人背上的數字，但不能看到自己的數字。貼紙之後你們之間不允許進行任何形式的溝通交流。之後你們排隊依次來D***，告訴我你自己背後的數字是多少；由於D***室隔音效果很好，室外的人不能聽到室內的同學的說話聲（更好的說法是，每個人獨自在一張小紙條上寫下猜測結果，這就避免了可能由排隊猜數的時間和順序帶來的“交流”）。等到16名同學都猜完之後公布結果。只要你們16個人中間能有一個人猜對自己背後的數字，我會讓大家都得滿分；但如果你們都沒有猜對自己背後的數位話，則你們全部都要重修有機實驗。那麼你要怎樣做才能避免掛科的命運呢？

這道題目很有意思，看答案之前不妨自己先想一下。

 

 

提示：先從兩個人的情況開始想起。

 

 

 

 

答案：為了下面敘述的簡便，我們把數字1到16簡單地替換為0到15。遊戲前，大家按某種順序給所有人從0到15依次編號。遊戲開始後，每個人把自己能看到的15個數與自己的編號一起異或起來（按位異或），在猜數時報出這個異或的結果。這個方案能保證總有一個人恰好報出自己的數。假設這16個數異或起來的結果為X（顯然0
≤ X ≤ 15），第i個人身上的數記為A_i，那麼他猜的數其實就是X xor A_i xor
i。那麼，編號為X的人（此時i=X）報出的數恰好就是他背上的那個數。對於數字1到16的情況，只需要在計算前後減一加一即可。
這個問題可以從n=2的情形很快入手。當n=2時，只需其中一個人報和對方一樣的數，另一個人報和對方不一樣的數即可。