函數概念的解讀

世界知名數理邏輯學家J.Keisler教授在《基礎微積分》電子版教材的“第1.2節實函數”中給出一元實函數的定義如下：

DEFINITION

Areal
function of one variable is a set f of ordered pairs of real numbers such that for every real number a one of the following two things happens:

(i)There
is exactly one real number b for which the ordered pair (a,b) is a member of f.

In this
case we say that f (a) is defined and we write f(a) = b. The number b is called the value of f at a.

(ii)There
is no real number b for which the ordered pair (a, b) is a member of f. In this case we say that f(a) is undefined.

Thus
f(a) = b means that the ordered pair
(a,b)is an element of
f.

我們需要注意的是，在函數的定義中，對於每一個實數a均可提問f(a)是否有意義，而無需事先規定”函數的定義域“，實際上，函數定義域只是一個派生（或由此匯出）的概念。運算式f(a)=
b的意義是”theordered
pair(a,b)isan
element off“，意思是：有序偶（a，b)屬於函數f，是集合f的一個元素，如此而已，沒有別的意思。

大家知道，微積分學的主要研究對象就是函數及其變化。9月1日，數百萬大學新生即將苦讀微積分，如果滿腦袋都是一些糊塗概念，上大學還有什麼意義呢？

上述函數定義是J.keisler自己的發明創造的嗎？非也。這是上世紀三十年代法國布爾巴基學派關於函數的集合定義。我是一個“跟屁蟲”，書獃子，在數學上沒有一點自己的”獨創性“，但是，跟定什麼人卻是一點也不糊塗。近60年的數學生涯使我明白了這個道理。數學（主體就是微積分）是一門大學問。我把J.Keisler的《基礎微積分》教材原汁原味地介紹給國內廣大讀者就是我的“數學夢”。圓這個”夢“似乎很簡單，但是，卻用去了我人生的”一大半“光陰。不管什麼人，是”好人“，還是”壞人“，只要協助我實現這個”數學夢“，我都真心地感謝他（她）。