【演算法導論】 第十二課 跳躍表，演算法導論跳躍

【演算法導論】 第十二課 跳躍表，演算法導論跳躍

本節課介紹了一種全新的資料結構——跳躍表

跳躍表是一種簡單又有趣的動態搜尋資料結構，其主要優點在於其易於實現，而且很好的保證了其具有高效的效能，即2*O（lgn）的搜尋效能

在此之前我想首先談談鏈表，鏈表的優點在於其插入和刪除只需要常數項的時間（加上尋找該元素需要額外的O（n）時間），但是其尋找效率只有O（n），這裡順帶補充一下鏈表類的問題，以下先給出兩個BAT公司面試時熱衷於考的兩個鏈表經典問題：

1.如何快速尋找單向鏈表倒數第m個元素

2.如何快速判斷一個單向鏈表是否存在環

對於鏈表類問題，其核心思想不外乎兩點，1是開雙指標（甚至多指標），2是開雙鏈表（甚至多鏈表），其實以上兩個問題開雙指標便能巧妙地解決，第一個問題，先開一個指標走m步，然後再開一個指標同步走，當前一個指標走到鏈表末端時，後一個指標就正好指向倒數第m個元素了，第二個問題，開一個快指標和一個慢指標，快指標每次移動兩步，慢指標每次移動一步，如果存在環，那麼快指標一定會追到慢指標，可以想象兩個人在操場賽跑，快的人跑了很久之後會超慢的人一圈。

接下來我們繼續談跳躍表，其實跳躍表用到的就是第二個思路，開雙鏈表甚至多個鏈表

首先考慮建立兩個鏈表L1和L2，L1為快表，即只儲存部分元素，L2為慢表儲存全部元素，注意，以下提到的鏈表均為排好序的鏈表

當我們要搜尋某一元素時，我們先走快表，因為快表只保留了部分元素，所以是跳躍前進的，直到快表走過該元素，我們再退回快表前一個結點換到慢表繼續走，這樣效率顯然比在慢表上進行線性尋找要好一些，這裡的快慢表就像美國地鐵的快慢線地鐵一樣，快線的地鐵只在幾個站停頓，而慢線會在所有站停頓，乘客可以先乘快線到一個最接近目的地的前一個站，再轉乘慢線到達該地

那麼問題來了？

如何建表L1和 L2呢？L2無疑是一條包含所有結點的單向鏈表，那麼L1應該設定多少個結點最為合理呢，直觀上感受L1應該是均勻分布最好，那麼是以怎樣的密度分布最合適呢？

我們不難得出尋找時間上界為|L1|+|L2|/|L1|+轉乘的常數，這裡|L1|表示L1的長度（最壞情況就是L1走到末端後，走回一個節點然後進入L2，因為L2可以看做被L1分成了L1個段，所以每段長度為|L2|/|L1|，所以為|L1|+|L2|/|L1|+轉乘的常數），因為L2長度為n（包括整個鏈表），轉乘即鏈表L1向下走到L2的時間，為常數，所以我們的目標是要使得|L1|+n/|L1|最小，即|L1|為sqrt（n）時最優（可以求導得出或者通過其他數學方法，證明略），此時時間消耗為2*sqrt（n），即每隔sqrt（n）設立一個快表的結點，共sqrt（n）個快表結點

什嗎？sqrt（n）還不過癮？

那麼我們還能做怎樣的最佳化呢？答案是加更多的鏈表，我們看看三條鏈表應是多少,直覺告訴我們是3*n的1/3次方
其實，可以證明k條鏈表的時候為k*n的1/k次方

因為n是常數，那麼k多大比較合適呢？lgn！ 讓我們看看k取lgn的時候為多少，即lgn*n^(1/lgn)為多少，即求lgn*n^logn（2），還記得我們計算遞迴時間複雜度時的換底公式嗎？這裡n^logn(2)即2^logn(n)即2^1，即2，所以整個時間複雜度為2*lgn，這是一個非常好的效能。

這種情況下的跳躍表稱為理想跳躍表，每一層數量減少一半，總共lgn層鏈表，從最上級鏈表開始搜，搜不到就向下，最多下logn層，每層最多搜2個元素，所以搜尋複雜度為O（2lgn）


那麼問題又來了，如何動態維護這樣一個跳躍表呢？

先看刪除功能,刪除功能只要從上級鏈表搜到之後，就可以直接刪除，並向下將所有鏈表的該結點都刪除，這個比較簡單，那麼插入呢？

插入（x） 先search（x）在底表的位置然後插入該元素，是否結束了呢？不，因為在某一段連續插入若干個結點後，這一段會變得非常長，整個跳躍表的平衡結構無疑會被打破，那麼如何維護理想線段表的結構呢？

1.保持每段之間的理想距離，如果距離過大，就從中間分割，然後將中點上升一層結點

這個方法從直觀上看非常巧妙，但是實行起來卻有一定難度，因為你必須即時記錄每一段的長度

2.採用我們最喜歡的隨機化演算法，拋硬幣 如果正面，就把這個結點提升一個level（即把該結點也加入上一級的鏈表中），再拋硬幣（看是否持續提升level），因為兩個相鄰鏈表的長度之比為1:2，而硬幣出正面的機率也是50%，事實證明這樣做是可行的，這裡值得一提的是，老師在這節課發了兩個硬幣給同學，一個利用拋硬幣產生隨機數，一個利用拋硬幣決定當前插入結點是否需要提升level，在課堂上直接做起了實驗，整個課程氛圍也很好，也讓同學們都對該演算法有了直觀的理解，這一種教學方式很值得借鑒

注意，這裡需要考慮一個特殊情況，就是當我們插入的元素為最小的元素時，如果它沒有提升一個level，那麼上級鏈表的開頭就不是第一個元素，這樣也會打亂整個跳躍表的理想結構，因此我們需要打個補丁：即把一個負無窮值插到所有鏈表頭，這樣就算插入了一個最小的元素也能保證每個表是以負無窮開始，即每個鏈表都可以從最左邊開始。

在課堂上，通過實驗表明演算法2似乎在平均情況下可以得到一個很好的跳躍表，其實不僅僅是平均情況可以得到一個好的跳躍表，在絕大多數情況都可以得到一個好的跳躍表.

可以證明，得到一個好的跳躍表的機率P>=1-O(1/n^a)  這裡a是一個介於0到1的參數，與n有關，在課堂的最後，老師花了盡20分鐘的時間來證明，具體證明方式我們這裡略過（其實是我根本沒看懂其證明過程 逃~~）