演算法導論——最小產生樹

標籤：去掉   順序   時間複雜度   span   alt   col   輕量級   切割   name   

　　對於一個連通圖來說，我們可以去掉其中一些邊依然保持其連通的性質，在這些圖中存在一個或多個圖，他們的路徑總和是最小的，這樣的圖必然是樹。因為，如果說圖中存在環，則去掉環的一條邊依然可以保證連通性，這與總路徑和最小是矛盾的。這樣的圖被稱為最下產生樹。城市間鋪設電路就可以利用最小產生樹來進行規劃。

的黑色路徑構成了最小產生樹，去掉bc並加入ah也是一棵最小產生樹，可見一個圖的最小產生樹並不一定是唯一的。

　　最小產生樹可以使用安全邊的策略進行產生：假設集合A是最小產生樹的子集，我們可以找到一條邊加入到A中，依然保持A是最小產生樹的子集，這樣的邊就被稱為安全邊。為了尋找安全邊，我們定義下方黑色部分ab與de邊構成了集合A，(A,V-A)稱為G的一個切割。如果一條邊(v,u)一個端點屬於A而另一個端點屬於V-A，則稱它為橫跨切割(A,V-A)。在橫跨切割的邊中，可以找到一條或多條權重最小的邊，該邊稱為輕量級邊，輕量級邊即是安全邊。因為A一定要與V-A部分產生串連，這就必須要通過橫跨切割的邊，而輕量級邊是其中最短的，所以必定屬於最小產生樹。所示ah bj bc cd df ef為橫跨切割的邊，其中cd為輕量級邊。為了尋找輕量級邊，有兩種基於貪心策略的演算法。

Kruskal演算法

　　Kruskal演算法的思想是，尋找串連森林中兩棵不同樹的邊裡面的最短邊作為安全邊加入集合A。可以使用不相交集合來維護這樣的結構，對每個結點建立一棵樹。通過FIND-SET來返回結點屬於哪棵樹，有邊加入集合A時合并u和v所在的樹。時間複雜度可表示為O(ElgV)。

圖中所示為各邊按照長度順序不斷遍曆檢查是否要加入到集合A中，直到遍曆完所有的邊結束。

#include<stdio.h>#include<vector>#include <algorithm>using namespace std;#define SIZE 10class Node{public:    int rank;    Node *p;};class Road{public:    int u;    int v;    int weight;};int G[SIZE][SIZE];//鄰接矩陣，參數初始化略Node nodes[SIZE];void makeSet(Node x){    x.p = &x;    x.rank = 0;}void Union(Node x,Node y){    if(x.rank > y.rank)        y.p = &x;    else{        x.p = &y;        if(x.rank == y.rank)            y.rank++;    }}Node* findSet(Node x){    if(x.p != &x)        x.p = findSet(*x.p);    return x.p;}bool com (Road a,Road b) {    return (a.weight<b.weight); //升序排列}vector<Road> MSTKruskal(){    vector<Road> A;    int i,j;    vector<Road> roads;    for(i = 0; i < SIZE; i++){        nodes[i] = *new Node();        makeSet(nodes[i]);//每棵樹包含一個結點    }    for(i = 0; i < SIZE; i++){        for(j = i + 1; j < SIZE; j++){            if(G[i][j] != 0){                Road road = *new Road();                road.u = i;                road.v = j;                road.weight = G[i][j];                roads.push_back(road);            }                        }    }    sort(roads.begin(),roads.end(),com);//對所有路徑進行降序排列    for(i = 0; i < roads.size(); i++){        Road road = roads[i];        if(findSet(nodes[road.u]) != findSet(nodes[road.v])){            A.push_back(road);            Union(nodes[road.u],nodes[road.v]);        }    }    return A;}

Prim演算法

　　Prim演算法的思路是從根結點開始加入集合A，不斷尋找A與V-A相連邊中最短的，即橫跨(A,V-A)的輕量級邊。可以將V-A到A距離的最小值儲存到優先隊列Q中來減少每次遍曆尋找最短邊的時間。優先隊列可以通過最小二元堆積或者斐波那契堆來實現，前者的漸進時間為O(ElgV)後者改進為O(E+VlgV）

#include<stdio.h>#include<vector>using namespace std;#define SIZE 10#define INFI 10000class Road{public:    int u;    int v;    int weight;};int G[SIZE][SIZE];//鄰接矩陣，參數初始化略vector<Road> MSTPrim(int root){    vector<Road> A;    int i;    Road roads[SIZE];//記錄到達A的最短路徑    for(i = 0; i < SIZE; i++){        roads[i] = *new Road();        if(G[root][i] != 0){            roads[i].u = root;            roads[i].v = i;            roads[i].weight = G[root][i];        }        else            roads[i].weight = INFI;    }    while(A.size() != SIZE - 1){        int min = 0;        for(i = 1; i < SIZE; i++){            if(roads[i].weight < roads[min].weight && roads[i].weight > 0)                min = i;//尋找最短的路徑        }        A.push_back(roads[min]);        roads[min].weight = -1;//表示該點已在A中        for(i = 0; i < SIZE; i++){            if(G[min][i] < roads[i].weight)                roads[i].weight = G[min][i];//更新到達A的最短長度        }    }    return A;}

 

演算法導論——最小產生樹