【演算法導論】學習筆記——第7章 快速排序

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對於包含n個數的輸入數組來說，快速排序是一種最壞情況時間複雜度為theta(n^2)的排序演算法。雖然最壞情況時間複雜度很差，但是快速排序通常是實際排序應用中最好的選擇，因為它的平均效能非常好，期望時間複雜度是theta(nlgn)，而且常數因子非常小，並可進行原址排序。
1. 快速排序的描述
快速排序可採用分治思想實現。
分解：數組A[p..r]被劃分為兩個（可能為空白）子數組A[p..q-1]和A[q+1..r]，使得A[p..q-1]中的每一個元素都小於等於A[q]，而A[q]也小於等於A[q+1..r]中的每個元素。
解決：通過遞迴調用快速排序，對數組A[p..q-1]和A[q+1..r]進行排序。
合并：因為子數組都是原址排序的，所以不需要合併作業，A[p..r]已經有序。
代碼實現如下：

 1 void swap(int A[], int i, int j) { 2     int tmp = A[i]; 3     A[i] = A[j]; 4     A[j] = tmp; 5 } 6  7 int Partition(int A[], int p, int r) { 8     int x = A[r]; 9     int i = p - 1, j;10 11     for (j=p; j<r; ++j) {12         if (A[j] <= x) {13             ++i;14             swap(A, i, j);15         }16     }17     swap(A, i+1, r);18     return i+1;19 }20 21 void QuickSort(int A[], int p, int r) {22     int q;23 24     if (p < r) {25         q = Partition(A, p, r);26         QuickSort(A, p, q-1);27         QuickSort(A, q+1, r);28     }29 }

Partition過程總是選擇一個x=A[r]作為主元（Pivot Element），並圍繞該元素花費子數組A[p..r]。顯然，Partition的時間複雜度為theta(n)，n = r-p+1。

2. 快速排序的效能
最壞情況下，劃分極不均勻，即劃分為n-1與0，則T(n) = T(0) + T(n-1) + theta(n)，複雜度為theta(n^2)；最好情況下，劃分足夠均勻，即花費為floor(n/2)與ceil(n/2)-1，則T(n) = 2T(n/2) + theta(n)，複雜度為theta(nlgn)。通常，在劃分比例為常數比例的情況下，複雜度均為theta(nlgn)。
證明：最壞情況下快速排序複雜度為theta(n^2)。
　　T(n) = max(T(q)+T(n-q-1)) + theta(n)，0<=q<=n-1，採用數學歸納法
　　　　<= max(c*q^2+c*(n-q-1)^2) + theta(n)，0<=q<=n-1
　　　　= c*max(q^2+(n-q-1)^2) + theta(n)
　　　　<= c*n^2 - c*(2n-1) + theta(n).
　　只要c*(2n-1)顯著大於theta(n)，結論即成立。
7.2.5 證明：以劃分比例1-a:a作遞迴樹，因為0<a<=1/2，所以1-a>=a，設高度為h，所以當葉結點深度最小（即高度最小）滿足(a^h)n = 1，解得h = -lgn/lga，同理，當葉結點深度最大（即高度最高）時，滿足((1-a)^h) = 1，解得
h = -lgn/lg(1-a)。注意，在第k層劃分後的數量一定為(a^x)*((1-a)(k-x))*，易知，劃分後的最大數量比例為(1-a)^k，最小數量比例a^k。分別令將這兩個比例*n為1，即可求解。

3. 快速排序的隨機化版本
即採用隨機抽樣的隨機化技術使得主要元素隨機選取，在等機率隨機選取的情況下，期望已耗用時間為O(nlgn)。
代碼如下：

 1 void swap(int A[], int i, int j) { 2     int tmp = A[i]; 3     A[i] = A[j]; 4     A[j] = tmp; 5 } 6  7 int Partition(int A[], int p, int r) { 8     int x = A[r]; 9     int i = p - 1, j;10 11     for (j=p; j<r; ++j) {12         if (A[j] <= x) {13             ++i;14             swap(A, i, j);15         }16     }17     swap(A, i+1, r);18     return i+1;19 }20 21 int Randomized_Partition(int A[], int p, int r) {22     int n = r-p+1;23     int i = p+rand()%n, tmp;24 25     tmp = A[r];26     A[r] = A[i];27     A[i] = tmp;28     return Partition(A, p, r);29 }30 31 void QuickSort(int A[], int p, int r) {32     int q;33 34     if (p < r) {35         q = Randomized_Partition(A, p, r);36         QuickSort(A, p, q-1);37         QuickSort(A, q+1, r);38     }39 }

 

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