演算法導論之散列表

文章目錄

• 除法散列方法
• 一個經典的哈系函數
• 開放定址法

散列方法

哈系表有 m 個槽，如何將關鍵字 key 散列到哈系表的槽中呢？

除法散列方法散列結果由下列散列函數決定：

hash(key)  mod m

其中 m 是 hash 表的大小，注意 m 的選擇：

(1) m 不應是 2 的冪。原因分析如下：

     散列的發散程度取決於 hash(key)  mod m 的分布範圍，

     假設 m = 2^p,  對 m 取餘，結果等於哈系值中二進位的最低 p 位，

     如果雜湊值最低 p 位的排列很相似，則 hash(key)  mod m 的分布

     範圍很小，關鍵字的發散程度就不夠好。

(2) 經驗表明， 取 m 為與 2 的整數冪不太接近的素數。

      可以選擇與 [ 2^p + 2^(p+1) ] /2 最接近的一個素數。

一個經典的哈系函數

不斷地乘以 33， 至於為什麼選擇 33， 還沒足夠充分的解釋，經驗所得。

unsigned long hash(unsigned char *str){    unsigned long value = 5381;    unsigned char *p;    for (p = str; *p; p++) {        value = (value << 5) + value + *p;    }    return value;}

處理衝突的方法 連結法

把散列到同一槽中的所有元素都放在一個鏈表中。如果 hash 表有 n 個元素，m 個槽。

則一個鏈中平均儲存的元素數，即裝載因子 a = n/m ，連結法中裝載因子可能大於 1。

最壞情況下，n 個元素都散列到同一個鏈表，這時尋找事件為 O(n)。 

平均情況下，尋找時間為 O(1+a)

開放定址法

所有的元素都存放在散列表裡，尋找一個元素時，計算出該關鍵字對應的槽，從這個槽開始，

按照一定的順序探查所有的表項，直到找到所需的元素為止，開放定址法的裝載因子 a 絕對小於 1。
插入一個元素時，先計算該關鍵字對應的槽，按照一定的順序探查所有表項，直到找到一個空位為止。

在開放定址法中，尋找和插入都要探查很多槽，對每一個關鍵字，都存在一個長度為 m 的探查序列，設為：

< h(k, 0), h(k, 1), ... , h(k, m-1) > 

理想情況下，探查序列有 m! 種，每個關鍵字的探查序列是 < 0, 1, ..., m-1 > 的 m! 中排列中

任意一種的可能性是相同的，這稱為一致散列。但真正的一致散列很難實現，在實踐中，

有三種技術常用來計算開放定址法中的探查序列： 線性探查，二次探查，和雙重探查。

(1) 線性探查

初始探查位置為 t，下一個探查位置為 t+1，再下一個探查 t+2，...， 依次類推，直到 m-1，

然後又卷繞到 0, 1, ..., 直到最後探查槽 t-1。 散列函數為：

h(k, i) = ( h(k) + i ) mod m

線上性探查序列中，一旦確定了初始探查位置，後面的探查位置都固定下來了，

初始探查位置決定了整個序列，而初始探查位置有 m 種，故只有 m 種不同的探查序列。

線性探查方法比較容易實現，但容易出現群集現象，例如： 假設某個時刻，槽 

T[k+1] 到 T[k+i] 都被連續佔用了，如所示:

在這種情況下，下一個插入的關鍵字，只要其計算出來的初始位置位於區間 [ k+1, k+i+1 ] ，

槽 T[k+i+1] 都會被使用，即槽 T[k+i+1] 被佔用的機率為 (i+1)/m。槽 T[k+i+1] 的使用導致

連續佔用槽的序列長度增加，引起下一個槽 T[k+i+2] 被使用的機率變得更大。這樣惡性迴圈

下去。連續被佔用槽的長度不斷增加，尋找和插入時間的探查時間也不斷增加。這被稱為

群集現象。

(2) 二次探查

散列函數為：

h(k, i) = ( h(k) + c1*i + c2* i^2 ) mod m

初始探查位置為 T[ h(k) ], 後續的探查位置在此基礎上加上一個位移，該位移以二次的方式依賴於 i，

二次探查的效果比一次探查好很多，不過與線性探查一樣，初始探查位置決定了整個序列，故只有

 m 種不同的探查序列。這會導致一種程度較輕的群集現象，稱為二次群集。

(3) 雙重散列

雙重散列是開放定址法中最好的探查方法，其散列函數為：

h(k, i) = [ h(k) + i*h'(k) ] mod m

其中 h'(k) 是輔助散列函數。

為了能尋找整個散列表，值 h'(k) 要與表的大小 m 互質（結論的證明要利用數論

的知識），確保這個性質的一種方法是令 m 為一個質數，並讓 h'(k) 總是產生比

m 小的雜湊值。

在雙重散列法中，一旦確定了 h(k) 和 h'(k)，則關鍵字 k 的探查序列就確定下來。

所以一個探查序列由 組合< h(k) , h'(k) > 共同決定，對 m 取餘數，h(k) 可以產生 m 種

探查序列， h'(k) 也可以產生 m 種探查序列，所以雙重散列法可以產生 O(m^2) 種

探查序列。比線性探查和二次探查有很大的提高。