電腦科學及編程導論（8）演算法的複雜度

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1.基於問題規模的複雜度計算方法

在考慮時間效率的時候，面臨以下兩個問題：輸入規模以及步驟。

輸入規模受很多因素影響：參數大小、參數類型（數組、元組的存取小綠是不同的），而且不同操作步驟（加減、判斷）時間也不是相同的，為了方便計算，我們需要建立以下的假設：

假設從電腦取得任何變數的時間是相同的

假設基本操作時間恒定

接下來就可以考慮以下幾種情況：

最好情況：何種輸入會使得程式的已耗用時間最短？

最壞情況：何種輸入會使得程式的已耗用時間最長？

平均情況

如果考慮平均情況的話，就要去設想問題輸入規模的分布情況，這樣大大增加了計算的難度。因此，我們通常考慮的是最壞的情況，因為最壞情況能夠讓我們知道程式已耗用時間的上限，能夠避免意外的發生。

2. 執行個體分析 執行個體一：計算a的b次方方法一：常規方法

# 方法一：用常規方法計算a的b次方def exp1(a,b):    ans = 1 #一次    while (b>0):  #3b次        ans *= a        b -= 1    return ans #一次

程式執行的步驟為：1 + 3b + 1 = 2 + 3b次 

b = 300 ， 執行次數：902；

b = 3000， 執行次數：90002；

b = 30000，執行次數，9000002；

可以發現，隨著b的增長，2和3的作用越來越小，因為單單b就可以體現出函數的增長的上限。因此我們引入了Big O的概念：

Big O：upper limit to growth of function as the input gets large.

大 O：當問題規模變大時候對應的解決方案的增長上限

因此，方法一的時間複雜度為O(b).

方法二：遞迴方法

#方法二：遞迴方法求a的b次方def exp2(a,b):    if b == 1: #一次        return a     else:        return a*exp2(a,b-1)  #2次，一次乘法，一次減法

首先我們假設時間為t(b)，可以進行如下推導：

t(b)=3+t(b-1)

     =3+3+t(b-2)

     =...

     =3k + t(b-k)

其中，b-k=1，代入，因為t(1)=2,所以，可得

t(b)=3b-1

因此，方法二的時間複雜度仍然為O(b)

方法三：根據b奇偶性的不同分別進行判斷

a**b：

b為偶數：(a*a)**(b/2)，規模減半

b為奇數：a*(a**(b-1))

 

#8.3 分類法求平方根def exp3(a,b):    if b == 1:        return a    if b%2 ==0:        return exp3(a*a,b/2)    else:        return a*exp3(a,b-1)

 

可以簡單計算出時間複雜度：

b為偶數: t(b) = 5 + t(b/2)

b為奇數：t(b) = 5 + t(b-1) = 10 + t(b-1/2)

也就是說，沒經過兩輪，規模減半，所以時間複雜度為O(logb)

 執行個體2：時間複雜度為O(n²）的例子

這個例子很簡單，不多說明

#8.4def g(n): x=0   for i in range(n):      for j in range(m):x += 1 return x

執行個體3：漢羅塔問題

主要介紹如何從遞迴角度來考慮漢羅塔問題

解題思路：

設三個圓盤的名稱分別為為：fromstack（起始圓盤）、sparestack（空餘圓盤）、tostack（目的圓盤）

如果個數為1，直接從fromstack移動到tostack

如果個數為n：

1. 將n-1個圓盤移動到sparestack
2. 將第n個圓盤移動到tostack
3. 然後將n-1個圓盤移動到tostack

 代碼：

#8.4 用遞迴方法求解漢羅塔問題def Towers(size,fromStack,toStack,spareStack):    if size == 1:        print(‘Move disk from ‘,fromStack,‘to‘,toStack)    else:        Towers(size-1,fromStack,spareStack,toStack)        Towers(1,fromStack,toStack,spareStack)        Towers(size-1,spareStack,toStack,fromStack)

該演算法的時間複雜度為O（n²）