資料庫系統概論——求最小函數依賴集

定義：如果函數依賴集f滿足下列條件，則稱f為最小函數依賴集或最小覆蓋。

　　① f中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性；
　　② f中不存在這樣一個函數依賴x→a，使得f與f-{x→a}等價；
　　③ f中不存在這樣一個函數依賴x→a，x有真子集z使得f-{x→a}∪{z→a}與f等價。

或者表述為：

    最小依賴集：如果函數集合F滿足以下三個條件：
    ①F中每個函數依賴的右部都是單屬性；
    ②F中的任一函數依賴X→A，其F-{X→A}與F是不等價的；
    ③F中的任一函數依賴X→A，Z為X的子集。(F-{X→A}∪{Z→A}與F不等價。則稱F為最小函數依賴集合，記為Fmin。

    演算法：計算最小函數依賴集。

　　輸入 一個函數依賴集

　　輸出 f的一個等價的最小函數依賴集g

　　步驟：① 用分解的法則，使f中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性；
　　　　　② 去掉多餘的函數依賴：從第一個函數依賴x→y開始將其從f中去掉，然後在剩下的函數依賴中求x的閉包x+，看x+是否包含y，若是，則去掉x→y；否則不能去掉，依次做下去。直到找不到冗餘的函數依賴；
　　　　　③ 去掉各依賴左部多餘的屬性。一個一個地檢查函數依賴左部非單個屬性的依賴。例如xy→a，若要判y為多餘的，則以x→a代替xy→a是否等價。若a屬於(x)+，則y是多餘屬性，可以去掉。

　　舉例：已知關係模式r<u,f>，u={a,b,c,d,e,g}，f={ab→c,d→eg,c→a,be→c,bc→d,cg→bd,acd→b,ce→ag}，求f的最小函數依賴集。

　　解1：利用演算法求解，使得其滿足三個條件

　　① 利用分解規則，將所有的函數依賴變成右邊都是單個屬性的函數依賴，得f為：f={ab→c,d→e,d→g,c→a,be→c,bc→d,cg→b,cg→d,acd→b,ce→a,ce→g}

　　② 去掉f中多餘的函數依賴

　　a．設ab→c為冗餘的函數依賴，則去掉ab→c，得：f1={d→e,d→g,c→a,be→c,bc→d,cg→b,cg→d,acd→b,ce→a,ce→g}

　　計算(ab)f1+：設x(0)=ab

　　計算x(1)：掃描f1中各個函數依賴，找到左部為ab或ab子集的函數依賴，因為找不到這樣的函數依賴。故有x(1)=x(0)=ab，演算法終止。

　　(ab)f1+= ab不包含c，故ab→c不是冗餘的函數依賴，不能從f1中去掉。

　　b．設cg→b為冗餘的函數依賴，則去掉cg→b，得：f2={ab→c,d→e,d→g,c→a,be→c,bc→d,cg→d,acd→b,ce→a,ce→g}

　　計算(cg)f2+：設x(0)=cg

　　計算x(1)：掃描f2中的各個函數依賴，找到左部為cg或cg子集的函數依賴，得到一個c→a函數依賴。故有x(1)=x(0)∪a=cga=acg。

　　計算x(2)：掃描f2中的各個函數依賴，找到左部為acg或acg子集的函數依賴，得到一個cg→d函數依賴。故有x(2)=x(1)∪d=acdg。

　　計算x(3)：掃描f2中的各個函數依賴，找到左部為acdg或acdg子集的函數依賴，得到兩個acd→b和d→e函數依賴。故有x(3)=x(2)∪be=abcdeg，因為x(3)=u，演算法終止。

　　(cg)f2+=abcdeg包含b，故cg→b是冗餘的函數依賴，從f2中去掉。

　　c．設cg→d為冗餘的函數依賴，則去掉cg→d，得：f3={ab→c,d→e,d→g,c→a,be→c,bc→d,acd→b,ce→a,ce→g}

　　計算(cg)f3+：設x(0)=cg

　　計算x(1)：掃描f3中的各個函數依賴，找到左部為cg或cg子集的函數依賴，得到一個c→a函數依賴。故有x(1)=x(0)∪a=cga=acg。

　　計算x(2)：掃描f3中的各個函數依賴，找到左部為acg或acg子集的函數依賴，因為找不到這樣的函數依賴。故有x(2)=x(1)，演算法終止。(cg)f3+=acg。

　　(cg)f3+=acg不包含d，故cg→d不是冗餘的函數依賴，不能從f3中去掉。

　　d．設ce→a為冗餘的函數依賴，則去掉ce→a，得：f4={ab→c,d→e,d→g,c→a,be→c,bc→d,cg→d,acd→b,ce→g}

　　計算(cg)f4+：設x(0)=ce

　　計算x(1)：掃描f4中的各個函數依賴，找到左部為ce或ce子集的函數依賴，得到一個c→a函數依賴。故有x(1)=x(0)∪a=cea=ace。

　　計算x(2)：掃描f4中的各個函數依賴，找到左部為ace或ace子集的函數依賴，得到一個ce→g函數依賴。故有x(2)=x(1)∪g=aceg。

　　計算x(3)：掃描f4中的各個函數依賴，找到左部為aceg或aceg子集的函數依賴，得到一個cg→d函數依賴。故有x(3)=x(2)∪d=acdeg。

　　計算x(4)：掃描f4中的各個函數依賴，找到左部為acdeg或acdeg子集的函數依賴，得到一個acd→b函數依賴。故有x(4)=x(3)∪b=abcdeg。因為x(4)=u，演算法終止。

　　(ce)f4+=abcdeg包含a，故ce→a是冗餘的函數依賴，從f4中去掉。

　　③ 去掉f4中各函數依賴左邊多餘的屬性（只檢查左部不是單個屬性的函數依賴）由於c→a，函數依賴acd→b中的屬性a是多餘的，去掉a得cd→b。

　　故最小函數依賴集為：f={ab→c,d→e,d→g,c→a,be→c,bc→d,cg→d,cd→b,ce→g}