網路流的入門思想

很多問題都可以轉化成網路流問題，如運輸貨物時的物流問題，水流問題，匹配問題等等。網路是一個各條邊都有權值和方向的圖。

網路流問題，一般情況下我們會把各種網路問題抽象成網路流問題，網路流是滿足以下性質的網路：每一條邊擁有一個最大的容量c，即該條邊可以容納的最大流量，f是流過該邊的實際流量，且總有f<=c。對於圖中每個頂點（源點和匯點除外）都有流出的流量等於流入的流量。圖中只有一個源點一個匯點，且對於源點來說其流入量為0，對於匯點來說流出量為0，源點的流出量等於匯點的流入量，對於最大流問題既是要找出流入匯點的最大流量值。

求最大流的演算法：

EK演算法：EK演算法中涉及的三個關鍵詞：殘留網路，增廣路，割。

殘留網路，假定我們已經找到了一個可行的流，那麼對於每條邊如果流量小於容量則表示該條邊有剩餘，以流的流量我們也可以看成是反向的殘留，得到一個殘留網路。

增廣路：在殘留網路中如果可以找到一條從源點到匯點的路，即為增廣路，我們就可以將流值增加這條增廣路上的最小邊。

EK演算法就是在殘留網路中尋找增廣路使得流值不斷增大，直至達到最大為止。

Ek演算法由於在尋找增廣路時具有盲目性，演算法效率不高。

Dinic演算法：基於EK演算法的思想，再從源點到匯點做bfs來尋找路時，對各點標一個層次值表示從源點到該點所需的最小步數，然後在這些層次的基礎上做dfs，dfs的時候只能到其下一層的點，且容量需要比已流流量大，然後重複上述過程即可得到解。

最大流和最小割，如果我們想要把一個網路分成兩部分，一部分包含源點s，另一部分包含匯點t，我們把這個集合之間，從源集合到彙集合之間的正向流量之和，稱為是網路的割，而一個網路的割中最小的那個，我們稱之為最小割。

最大流最小割定理：一個網路的最小割等於最大流。

最小費用最大流：在保證最大流的情形下，網路中的邊，可能不只有流量還有費用，那麼如果我們一方面希望網路擁有最大流，另一方面我們要求費用達到最小，這就是一個費用流的問題了，對於費用流的問題，事實上我們可以這麼考慮，首先我們必須要找到的是最大流，另一方面我們需要費用最小，而在找最大流的時候我們總是在尋找增廣路來增廣，來使得我們能得到一個比現在更大的流，那麼另一方面要求費用最小，所以我們可以在尋找增廣路的時候找一條費用最小路來增廣，而費用我們也可以看成是距離類的東西，也就是這樣的話，我們可以用最短路，來找出這樣一個最小費用的路來進行增廣，而不斷增廣，即可得到最大流，這樣我們就可以得到最小費用最大流。

網路流和費用流中經常會涉及到拆點的操作，將一個點分成入和出，來拆成兩個點。例如聯合訓練賽的第六場第一個題目tour，給出一張圖，要求將這個圖劃分成幾個集合，要求每個集合的點的個數大於等於2，要求這個集合所有點可以構成一個環。圖中的每條邊都有一個邊權，最後找到各個集合的總花費為所有構成環的邊的權之和。要求這個花費最小。分析題目可以知道，我們最後分成各個集合之後一定是每個點的出度和入度都為1，所以這個題經過拆點之後就是最小權匹配問題，用km演算法即可解決，當然我們也可以將它轉化成一費用流問題，將圖中的每個節點都拆成入和出兩個點，增加源和匯，源點到進入的點連一條費用為0，流量為1的邊，從出點到匯連一條費用為0，流量為1的邊，原圖中的邊都練成費用為邊權，流量為1的邊
，最後只要求這個網路的最小費用流即可。另外對於一些題是點權而不是邊權的題目，也可以通過拆點來將點權轉化成邊權。所以拆點的想法在網路流中十分重要。