逆元板子集

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其實就是怕忘了……這裡發一下線性求逆元以及階乘的逆元的板子。

 

線性求逆元

逆元是啥我就不說了，但是線性遞推式怎麼來的我還是可以證明一下的。

 

求 i 的逆元，假設[1, i - 1]的逆元已知。

設 p = k * i + b，則 b = p % i, k = ?p / i? 。

則k * i + b Ξ 0 (mod p)，所以b Ξ - k * i。

兩邊同乘inv[b]得：inv[b] * b Ξ - k * i * inv[b] (mod p)

化簡得：　　  - k * i * inv[b] Ξ 1 (mod p)

兩邊同乘inv[i]得：inv[i] Ξ - k *inv[b] (mod p)

　　　　　　　　inv[i] Ξ (p - k) * inv[b]

　　　　　　　　inv[i] Ξ (p - ?p / i?) * inv[p % i]

所以　　　　　　inv[i] = (p - ?p / i?) * inv[p %i] % p

裝模作樣來個代碼。

1 inv[1] = 1;2 for(int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;

 

 

線性求階乘的逆元

其實就是根據inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p倒著遞推而來。

先用費馬小定理求出inv[n]的逆元，然後倒著遞推。

 1 ll quickpow(ll a, ll b) 2 { 3     a %= mod; 4     ll ret = 1; 5     for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod)  6         if(b & 1) ret = ret * a % mod; 7     return ret; 8 } 9 ll fac[maxn], inv[maxn];10 void init(int n)11 {12     fac[1] = 1;13     for(int i = 2; i <= n; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;14     inv[n] = quickpow(fac[n], mod - 2);15     for(int i = n - 1; i; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;16 }

 

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