迭代最近點演算法 Iterative Closest Points_迭代最近點

研究生課程系列文章參見索引《在信科的那些課》 基本原理

假定已給兩個資料集P、Q， ，給出兩個點集的空間變換f使他們能進行空間匹配。這裡的問題是，f為一未知函數，而且兩點集中的點數不一定相同。解決這個問題使用的最多的方法是迭代最近點法（Iterative Closest Points Algorithm）。

基本思想是：根據某種幾何特性對資料進行匹配，並設這些匹配點為假想的對應點，然後根據這種對應關係求解運動參數。再利用這些運動參數對資料進行變換。並利用同一幾何特徵，確定新的對應關係，重複上述過程。

迭代最近點法目標函數 三維空間中兩個3D點，  ，他們的歐式距離表示為：

三維點雲匹配問題的目的是找到P和Q變化的矩陣R和T，對於  ， ，利用最小二乘法求解最優解使：

最小時的R和T。

資料預先處理 實驗中採集了五個面的點如下所示： 由於第一組（第一排第1個）和第三組（第一排第三個）採集均為模型正面點雲，所以選用一和三做後續的實驗。 首先利用Geomagic Studio中刪除點的工具，去除未經處理資料中的一些隔離的噪點，效果如下：


平行移動和旋轉的分離 先對平移向量T進行初始的估算，具體方法是分別得到點集P和Q的中心：
   
分別將點集P和Q平移至中心點處：
則上述最佳化目標函數可以轉化為：  
最佳化問題分解為：
求使E最小的  求使  平移中心點的 具體代碼為：
[cpp]  view plain copy //計算點雲P的中心點mean   void CalculateMeanPoint3D(vector<Point3D> &P, Point3D &mean)   {       vector<Point3D>::iterator it;       mean.x = 0;       mean.y = 0;       mean.z = 0;       for(it=P.begin(); it!=P.end(); it++){           mean.x += it->x;           mean.y += it->y;           mean.z += it->z;       }       mean.x = mean.x/P.size();       mean.y = mean.y/P.size();       mean.z = mean.z/P.size();   }   初始平移效果如下：

利用控制點求初始旋轉矩陣 在確定對應關係時，所使用的幾何特徵是空間中位置最近的點。這裡，我們甚至不需要兩個點集中的所有點。可以指用從某一點集中選取一部分點，一般稱這些點為 控制點（Control Points）。這時，配准問題轉化為： 這裡，pi，qi為最近匹配點。
在Geomagic Studio中利用三個點就可以進行兩個模型的“手動註冊”（感覺這裡翻譯的不好，Registration，應該為“手動匹配”）。

我們將手動選擇的三個點匯出，作為實驗初始的控制點：

對於第i對點，計算點對的矩陣 Ai：
   ， 為 的轉置矩陣。
（*這裡在査老師的課上給了一個錯誤的矩陣變換公式） 對於每一對矩陣Ai，計算矩陣B: 
[cpp]  view plain copy double B[16];           for(int i=0;i<16;i++)               B[i]=0;           for(itp=P.begin(),itq=Q.begin();itp!=P.end();itp++,itq++ ){               double divpq[3]={itp->x,itp->y,itp->z};               double addpq[3]={itp->x,itp->y,itp->z};               double q[3]={itq->x,itq->y,itq->z};               MatrixDiv(divpq,q,3,1);               MatrixAdd(addpq,q,3,1);               double A[16];               for(int i=0;i<16;i++)                   A[i]=0;               for(int i=0;i<3;i++){                   A[i+1]=divpq[i];                   A[i*4+4]=divpq[i];                   A[i+13]=addpq[i];               }               double AT[16],AMul[16];               MatrixTran(A,AT,4,4);               MatrixMul(A,AT,AMul,4,4,4,4);               MatrixAdd(B,AMul,4,4);           }  
原最佳化問題可以轉為求B的最小特徵值和特徵向量，具體代碼：
[cpp]  view plain copy //使用奇異值分解計算B的特徵值和特徵向量           double eigen, qr[4];           MatrixEigen(B, &eigen, qr, 4);  
[cpp]  view plain copy //計算n階正定陣m的特徵值分解：eigen為特徵值，q為特徵向量   void MatrixEigen(double *m, double *eigen, double *q, int n)   {       double *vec, *eig;       vec = new double[n*n];       eig = new double[n];       CvMat _m = cvMat(n, n, CV_64F, m);       CvMat _vec = cvMat(n, n, CV_64F, vec);       CvMat _eig = cvMat(n, 1, CV_64F, eig);       //使用OpenCV開源庫中的矩陣操作求解矩陣特徵值和特徵向量       cvEigenVV(&_m, &_vec, &_eig);       *eigen = eig[0];       for(int i=0; i<n; i++)           q[i] = vec[i];       delete[] vec;       delete[] eig;   }      //計算旋轉矩陣   void CalculateRotation(double *q, double *R)   {       R[0] = q[0]*q[0] + q[1]*q[1] - q[2]*q[2] - q[3]*q[3];       R[1] = 2.0 * (q[1]*q[2] - q[0]*q[3]);       R[2] = 2.0 * (q[1]*q[3] + q[0]*q[2]);       R[3] = 2.0 * (q[1]*q[2] + q[0]*q[3]);       R[4] = q[0]*q[0] - q[1]*q[1] + q[2]*q[2] - q[3]*q[3];       R[5] = 2.0 * (q[2]*q[3] - q[0]*q[1]);       R[6] = 2.0 * (q[1]*q[3] - q[0]*q[2]);       R[7] = 2.0 * (q[2]*q[3] + q[0]*q[1]);       R[8] = q[0]*q[0] - q[1]*q[1] - q[2]*q[2] + q[3]*q[3];   }  
平移矩陣計算 2.4中可以得到選擇矩陣的4元數表示，由於在 "平行移動和旋轉的分離"中，我們將最優問題分解為：
求使E最小的  求使  因此還需要通過中心點計算平移矩陣。
[cpp]  view plain copy //通過特徵向量計算旋轉矩陣R1和平移矩陣T1           CalculateRotation(qr, R1);           double mean_Q[3]={_mean_Q.x,_mean_Q.y,_mean_Q.z};           double mean_P[3]={_mean_P.x,_mean_P.y,_mean_P.z};           double meanT[3]={0,0,0};           int nt=0;           for(itp=P.begin(),itq=Q.begin();itp!=P.end();itp++,itq++ ){               double tmpP[3]={itp->x,itp->y,itp->z};               double tmpQ[3]={itq->x,itq->y,itq->z};               double tmpMul[3];               MatrixMul(R1, mean_P, tmpMul, 3, 3, 3, 1);               MatrixDiv(tmpQ,tmpMul,3,1);               MatrixAdd(meanT,tmpQ,3,1);               nt++;           }           for(int i=0; i<3; i++)               T1[i] = meanT[i]/(double)(nt);  
一次旋轉計算得到的矩陣如下：
效果在Geomagic Studio中顯示如圖：
迭代最近點 在初始匹配之後，所點集P`中所有點做平移變化，在比較點集合P`和Q`的匹配度，（或迭代次數）作為演算法終止的條件。
具體為對點集P中每個點，找Q中離他最近的點作為對應點。在某一步利用前一步得到的 ，求使下述函數最小的 ：
  這裡，  [cpp]  view plain copy //計算誤差和d           d = 0.0;           if(round==1){               FindClosestPointSet(data,P,Q);           }           int pcount=0;           for(itp = P.begin(),itq=Q.begin();itp!=P.end(); itp++, itq++){               double sum = (itp->x - itq->x)*(itp->x - itq->x) + (itp->y - itq->y)*(itp->y - itq->y)                    + (itp->z - itq->z)*(itp->z - itq->z);               d += sum;               pcount++;           }           d=d/(double)(pcount);  
迴圈結束後能得到較好的匹配效果：

封裝後的效果圖：

from: http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/8470376