雅可比（Jacobian）矩陣

在向量分析中, 雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。其行列式稱為雅可比行列式。還有, 在代數幾何中, 代數曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數群, 曲線可以嵌入其中. 它們全部都以數學家卡爾·雅可比(Carl Jacob, 1804年10月4日－1851年2月18日)命名。

一、Jacobian矩陣

雅可比矩陣的重要性在於它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近. 因此, 雅可比矩陣類似於多元函數的導數。

假設F: Rn→Rm是一個從歐式n維空間轉換到歐式m維空間的函數。這個函數F由m個實函數組成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn)。這些函數的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣, 這就是所謂的雅可比矩陣：

表示為:

如果p是Rn中的一點, F在p點可微分, 那麼在這一點的導數由JF(p)給出(這是求該點導數最簡便的方法). 在此情況下, 由F(p)描述的線性運算元即接近點p的F的最優線性逼近, x逼近於p:

二、舉例

由球座標系（Spherical coordinate system）到直角座標系的轉化由F函數給出︰

此座標變換的雅可比矩陣是：