Java動態規劃 實現最長公用子序列以及最長公用子字串__Java

動態規劃法

經常會遇到複雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題。簡單地採用把大問題分解成子問題，並綜合子問題的解匯出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規模呈冪級數增加。

為了節約重複求相同子問題的時間，引入一個數組，不管它們是否對最終解有用，把所有子問題的解存於該數組中，這就是動態規劃法所採用的基本方法。

【問題】 求兩字元序列的最長公用字元子序列

問題描述：字元序列的子序列是指從給定字元序列中隨意地（不一定連續）去掉若干個字元（可能一個也不去掉）後所形成的字元序列。令給定的字元序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一個嚴格遞增下標序列<i0，i1，…，ik-1>，使得對所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個子序列。

考慮最長公用子序列問題如何分解成子問題，設A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，並Z=“z0，z1，…，zk-1”為它們的最長公用子序列。不難證明有以下性質：

（1） 如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公用子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公用子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公用子序列。

這樣，在找A和B的公用子序列時，如有am-1=bn-1，則進一步解決一個子問題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一個最長公用子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個子問題，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公用子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公用子序列，再取兩者中較長者作為A和B的最長公用子序列。

求解：

引進一個二維數組c[][]，用c[i][j]記錄X[i]與Y[j] 的LCS 的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪一個子問題的值求得的，以決定搜尋的方向。
我們是自底向上進行遞推計算，那麼在計算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據X[i] = Y[j]還是X[i] != Y[j]，就可以計算出c[i][j]。

問題的遞迴式寫成：

回溯輸出最長公用子序列過程：

 

演算法分析：
由於每次調用至少向上或向左（或向上向左同時）移動一步，故最多調用(m * n)次就會遇到i = 0或j = 0的情況，此時開始返回。返回時與遞迴調用時方向相反，步數相同，故演算法時間複雜度為Θ(m * n)。

Java代碼實現：

[java] view plain copy public class LCSProblem    {       public static void main(String[] args)       {           //保留Null 字元串是為了getLength()方法的完整性也可以不保留           //但是在getLength()方法裡面必須額外的初始化c[][]第一個行第一列           String[] x = {"", "A", "B", "C", "B", "D", "A", "B"};           String[] y = {"", "B", "D", "C", "A", "B", "A"};                      int[][] b = getLength(x, y);                      Display(b, x, x.length-1, y.length-1);       }       /**       * @param x       * @param y       * @return 返回一個記錄決定搜尋的方向的數組       */       public static int[][] getLength(String[] x, String[] y)       {           int[][] b = new int[x.length][y.length];           int[][] c = new int[x.length][y.length];                      for(int i=1; i<x.length; i++)           {               for(int j=1; j<y.length; j++)               {                   //對應第一個性質                   if( x[i] == y[j])                   {                       c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;                       b[i][j] = 1;                   }                   //對應第二或者第三個性質                   else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])                   {                       c[i][j] = c[i-1][j];                       b[i][j] = 0;                   }                   //對應第二或者第三個性質                   else                   {                       c[i][j] = c[i][j-1];                       b[i][j] = -1;                   }               }           }                         return b;       }       //回溯的基本實現，採取遞迴的方式       public static void Display(int[][] b, String[] x, int i, int j)       {           if(i == 0 || j == 0)               return;                      if(b[i][j] == 1)           {               Display(b, x, i-1, j-1);               System.out.print(x[i] + " ");           }           else if(b[i][j] == 0)           {               Display(b, x, i-1, j);           }           else if(b[i][j] == -1)           {               Display(b, x, i, j-1);           }       }   }  

最長公用子字串：類似最長子序列，只是公用子字串要求必須是連續的。
java實現代碼如下：

[java] view plain copy public class stringCompare {       //在動態規劃矩陣產生方式當中，每產生一行，前面的那一行就已經沒有用了，因此這裡只需使用一維數組，而不是常用的二位元組       public static void getLCString(char[] str1, char[] str2) {           int len1, len2;           len1 = str1.length;           len2 = str2.length;           int maxLen = len1 > len2 ? len1 : len2;              int[] max = new int[maxLen];// 儲存最長子串長度的數組           int[] maxIndex = new int[maxLen];// 儲存最長子串長度最大索引的數組           int[] c = new int[maxLen];              int i, j;           for (i = 0; i < len2; i++) {               for (j = len1 - 1; j >= 0; j--) {                   if (str2[i] == str1[j]) {                       if ((i == 0) || (j == 0))                           c[j] = 1;                       else                           c[j] = c[j - 1] + 1;//此時C[j-1]還是上次迴圈中的值，因為還沒被重新賦值                   } else {                       c[j] = 0;                   }                      // 如果是大於那暫時只有一個是最長的,而且要把後面的清0;                   if (c[j] > max[0]) {                       max[0] = c[j];                       maxIndex[0] = j;                          for (int k = 1; k < maxLen; k++) {                           max[k] = 0;                           maxIndex[k] = 0;                       }                   }                   // 有多個是相同長度的子串                   else if (c[j] == max[0]) {                       for (int k = 1; k < maxLen; k++) {                           if (max[k] == 0) {                               max[k] = c[j];                               maxIndex[k] = j;                               break; // 在後面加一個就要退出迴圈了                           }                       }                   }               }               for (int temp : c) {                   System.out.print(temp);               }               System.out.println();           }           //列印最長子字串        &