joj 2569: Musical Chairs (約瑟夫環 數學方法非迭代)

為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：

　　問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出

　　，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

　　我們知道第一個人(編號一定是(m-1)%n) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:

　　k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

　　並且從k開始報0。

　　現在我們把他們的編號做一下轉換：

　　k --> 0

　　k+1 --> 1

　　k+2 --> 2

　　...

　　...

　　k-3 --> n-3

　　k-2 --> n-2

　　序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

　　序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

　　序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1

　　序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1

　　變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：

　　∵ k=m%n;

　　∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大於n

　　∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

　　得到 x‘=(x+m)%n

　　如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個反向推算問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：

　　令f表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n].

　　遞推公式:

　　f[1]=0;

　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

　　有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1由於是逐級遞推，不需要儲存每個f，程式也是異常簡單：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
int main ()
{
    int n,m;
    while (scanf("%d%d",&n,&m)==2 && (n||m))
    {
        int ans=1;
        for (int i=2 ; i<=n ; i++)
        {
            ans=(ans+m)%i;
            if(ans==0)ans=i;
        }
        printf("%d %d %d/n",n,m,ans);
    }
    return 0;
}