約瑟夫問題的解法

約瑟夫問題是個有名的問題：N個人圍成一圈（編號為 0 ~ n-1），從1個開始報數，第M個將被殺掉，

最後剩下一個，其餘人都將被殺掉。求勝利者的編號。例如N=6，M=5， 編號為: [0,1,2,3,4,5]

被殺掉的人的序號為4，3，5，1，2。最後剩下0號。 

令 f(n) 表示 n 個人玩遊戲時勝利者的編號。顯然 f(1) = 0。下面求 f(n) 的遞推公式。

n 個人玩遊戲，第 1 個死的人編號為  k = (m-1) % n， 接下來從 (k+1) 這個人開始報數，參與報數的人的序列為：

k+1, k+2, ....... n-1,   0, 1, 2, ...........k-1     (1)  y    不妨對它們重新編號，得到另一個序列：

0,     1,   ........n-k-2  .......................n-2     (2)  x

把序列(2) 左移 (k+1) 個位置就變成了序列(1)， 令 x 和 y 表示兩個序列中位置相同的元素。則有

y = (x + k + 1) % n                                     (3)

殺掉第 1 個人(編號為 k )後，繼續玩下去，勝利者的編號 f(n) 肯定在序列(1)中產生。利用遞推的思想，勝利者

在序列(2)的編號為 f(n-1)， 再根據(3)式，勝利者在序列(1) 的編號為 [ f(n-1) + k + 1 ] % n，而勝利

者在序列(1)和序列(2)中都是同一個人，這樣就得到了 遞推公式

f(n) = [ f(n-1) + k + 1 ] % n = [ f(n-1) + (m-1)%n + 1 ] % n = [ f(n-1) + m ] % n
 (n > 1)

f(n) = 0                                                                        
                                  (n == 1)

利用遞推公式，求 n = 6, m = 5 時的勝利者編號 f(6)

f(1) = 0

f(2) = [ f(0) + 5 ] % 2 = 1

f(3) = [ f(2) + 5 ] % 3 = 0

f(4)
= [ f(3) + 5 ] % 4 = 1

f(5)
= [ f(4) + 5 ] % 5 = 1

f(6)
= [ f(5) + 5 ] % 6 = 0

最後得到勝利者的編號為 f(6) = 0