[家裡蹲大學數學雜誌]第053期Legendre變換

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$\bf 題目$. 設 $\calX$ 是一個 $B$ 空間, $f:\calX\to \overline{\bbR}\sex{\equiv \bbR\cap\sed{\infty}}$ 是連續的凸泛函並且 $f(x)\not\equiv \infty$. 若定義 $f^*:\calX^*\to \overline{\bbR}$ 為 $$\bex f^*(x^*)=\sup_{x\in\calX}\sed{\sef{x^*,x}-f(x)}\quad\sex{\forall\ x^*\in \calX^*}. \eex$$ 求證: $f^*(x^*)\not\equiv \infty$.

證明: 設 $x_0\in \calX$ 適合 $f(x_0)<\infty$. 則由 $f$ 凸及在 $x_0$ 處連續知 $\p f(x_0)\neq \emptyset$. 令 $x_0^*\in \p f(x_0)$, 則 $$\bex f(x)\geq f(x_0)+\sef{x_0^*,x-x_0}\quad\sex{\forall\ x\in\calX}, \eex$$ 而 $$\bex \sef{x_0^*,x}-f(x) \leq \sef{x_0^*,x_0}-f(x_0)<\infty, \eex$$ 即有 $$\bex f^*(x_0^*)\leq\sef{x_0^*,x_0}-f(x_0)<\infty. \eex$$