[JSOI2008]魔獸地圖

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Description

DotR裡面的英雄只有一個屬性——力量。

他們需要購買裝備來提升自己的力量值，每件裝備都可以使佩戴它的英雄的力量值提高固定的點數，所以英雄的力量值等於它購買的所有裝備的力量值之和。

裝備分為基本裝備和進階裝備兩種。基本裝備可以直接從商店裡面用金幣購買，而進階裝備需要用基本
裝備或者較低級的進階裝備來合成，合成不需要附加的金幣。裝備的合成路線可以用一棵樹來表示。

比如，Sange and Yasha的合成需要Sange,Yasha和Sange and Yasha Recipe Scroll三樣物品。其中Sange又要用Ogre Axe, Belt
 of Giant Strength和 Sange Recipe Scroll合成。

每件基本裝備都有數量限制，這限制了你不能無限制地合成某些性價比很高的裝備。

現在，英雄Spectre有M個金幣，他想用這些錢購買裝備使自己的力量值盡量高。你能幫幫他嗎？他會教你魔法Haunt（幽靈附體）作為回報的。

(1 <= n <= 51) 和 m (0 <= m <= 2,000)

 

Solution

一道擱置了很久的神題。

一看過去，一棵樹形合成路線，子樹的選擇與能否合成根有關，而且要分配一個金幣，最終獲得最高收益。而且還有物品的限制。

所以，就是一道樹形依賴背包題目了。

但是狀態不是很好設，因為子樹根的裝備可能留下，也可能等著合成更進階的裝備。

所以狀態中必須要記錄i根節點的子樹，合成多少個i要用於上面的合成

設f[i][j][k]表示，以i為根的子樹，合成j個i用於上面的合成，總共花費k元錢，也就是購買葉子花費k元。

轉移的時候，

先把每個子樹的答案算出來。

回溯到x後，外層枚舉l表示合成幾個x

然後依次選擇每個子樹，用樹形背包。

注意，這裡每個子樹都要選擇合成至少l*need[y]個，need[x]表示x合成一個父親所需要的個數。

所以，不能像一般的背包，每個子樹都要選擇。

用分組背包，g[tot][j]表示，考慮了前tot個子樹，花費j元錢，得到的最大力量。（每個子樹都滿足至少有l*need[y]）個

g[tot][j]=max(g[tot-1][j-k]+f[y][l*nd[y]][k])

統計完了之後，

再枚舉一個j，表示，l中留下j個合成x上一層的裝備。

f[x][j][k]=max(g[tot][k]+(l-j)*P[x])

 

要注意的是，為了保證用了l*nd[y]個，必須令g，f初值是-inf

0肯定是不行的。那就可能會用少於l*nd[y]的錢就合成了l*nd個，雖然總力量是0，但是也可能是一個最優解。

有的時候，為了轉移合法，必須把初值設定為極大或者極小值。

這樣，每次的最優解，就必定會從這裡出來。

 

可以順便dp一下合成每個x所需要的價值，以及x合成的上限，可以減少迴圈的長度。

 

Code

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int M=2000+3;const int N=55;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,m;int    L[N],P[N],C[N];int nd[N];bool ba[N];struct node{    int nxt,to;}e[2*N];int hd[N],cnt;void add(int x,int y){    e[++cnt].nxt=hd[x];    e[cnt].to=y;    hd[x]=cnt;}void dp(int x){    if(ba[x]){        L[x]=min(L[x],m/C[x]);        return;    }    for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){        int y=e[i].to;        dp(y);        C[x]+=C[y]*nd[y];        L[x]=min(L[x],L[y]/nd[y]);    }    L[x]=min(L[x],m/C[x]);    }int f[N][105][M];int g[N][M];int rt;bool du[N];void dfs(int x){    if(ba[x]){        for(int l=0;l<=L[x];l++){            for(int j=0;j<=l;j++){                f[x][j][l*C[x]]=P[x]*(l-j);            }        }        return ;    }        for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){        int y=e[i].to;         dfs(y);    }            for(int l=0;l<=L[x];l++){        int now=0;        for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){            int y=e[i].to;            now++;            memset(g[now],-0x3f,sizeof g[now]);            for(int j=0;j<=m;j++){                 for(int k=0;k<=j;k++){                    g[now][j]=max(g[now][j],g[now-1][j-k]+f[y][l*nd[y]][k]);                }            }                }        for(int h=0;h<=l;h++){            for(int k=0;k<=m;k++){                if(g[now][k]+(l-h)*P[x]>f[x][h][k]) {                f[x][h][k]=g[now][k]+(l-h)*P[x];                                }                             }        }    }}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    char op;int s;    memset(L,inf,sizeof L);    for(int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d ",&P[i]);        op=getchar();        if(op==‘B‘){            ba[i]=1;//is a leaf            du[i]=1;            scanf("%d%d",&C[i],&L[i]);        }        else{            scanf("%d",&s);            int son;            for(int j=1;j<=s;j++){                scanf("%d",&son);                scanf("%d",&nd[son]);                du[son]=1;                add(i,son);            }        }    }        for(int i=1;i<=n;i++) if(!du[i]) rt=i;            dp(rt);        memset(f,-inf,sizeof f);    dfs(rt);    int ans=0;    for(int j=0;j<=L[rt];j++){        for(int k=0;k<=m;k++){            ans=max(ans,f[rt][j][k]);        }    }    printf("%d",ans);    return 0;} 

 

 

 

 

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