Kalman濾波的原理

以下是講的比較細緻的一個資料.http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/40/ebook/kcsj/chp1/Kalman.htm

1.卡爾曼濾波器演算法
     在這一部分，我們就來描述源於Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。下面的描述，會涉及一些基本的概念知識，包括機率（Probability），隨即變數（Random Variable），高斯或正態分配（Gaussian Distribution）還有State-space Model等等。但對於卡爾曼濾波器的詳細證明，這裡不能一一描述。
首先，我們先要引入一個離散控制過程的系統。該系統可用一個線性隨機微分方程（Linear Stochastic Difference equation）來描述：

X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

再加上系統的測量值：

Z(k)=H X(k)+V(k)

     上兩式子中，X(k)是k時刻的系統狀態，U(k)是k時刻對系統的控制量。A和B是系統參數，對於多模型系統，他們為矩陣。Z(k)是k時刻的測量值，H是測量系統的參數，對於多測量系統，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過程和測量的雜訊。他們被假設成高斯白色雜訊(White Gaussian Noise)，他們的covariance 分別是Q，R（這裡我們假設他們不隨系統狀態變化而變化）。

     對於滿足上面的條件(線性隨機微分系統，過程和測量都是高斯白色雜訊)，卡爾曼濾波器是最優的資訊處理器。下面我們來用他們結合他們的covariances 來估算系統的最佳化輸出（類似上一節那個溫度的例子）。

     首先我們要利用系統的過程模型，來預測下一狀態的系統。假設現在的系統狀態是k，根據系統的模型，可以基於系統的上一狀態而預測出現在狀態：

X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)

     式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態預測的結果，X(k-1|k-1)是上一狀態最優的結果，U(k)為現在狀態的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。

     到現在為止，我們的系統結果已經更新了，可是，對應於X(k|k-1)的covariance還沒更新。我們用P表示covariance：

P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)

     式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對應的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對應的covariance，A’表示A的轉置矩陣，Q是系統過程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個公式當中的前兩個，也就是對系統的預測。

     現在我們有了現在狀態的預測結果，然後我們再收集現在狀態的測量值。結合預測值和測量值，我們可以得到現在狀態(k)的最佳化估算值X(k|k)：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)

     其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Gain)：

Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

     到現在為止，我們已經得到了k狀態下最優的估算值X(k|k)。但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運行下去直到系統過程結束，我們還要更新k狀態下X(k|k)的covariance：

P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)

     其中I 為1的矩陣，對於單模型單測量，I=1。當系統進入k+1狀態時，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。這樣，演算法就可以自迴歸的運算下去。卡爾曼濾波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 個基本公式。根據這5個公式，可以很容易的實現電腦的程式。

下面，我會用程式舉一個實際啟動並執行例子
2.簡單例子

     這裡我們結合第二第三節，舉一個非常簡單的例子來說明卡爾曼濾波器的工作過程。所舉的例子是進一步描述第二節的例子，而且還會配以程式類比結果。

     根據第二節的描述，把房間看成一個系統，然後對這個系統建模。當然，我們見的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個房間的溫度是跟前一時刻的溫度相同的，所以A=1。沒有控制量，所以U(k)=0。因此得出：

X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)

式子（2）可以改成：

P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

因為測量的值是溫度計的，跟溫度直接對應，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)

http://blog.csdn.net/luckydongbin/archive/2007/03/01/1518594.aspx

Kalman濾波是個最佳化遞迴處理演算法

總結

在目標檢測與跟蹤過程中,為了提高跟蹤速度,在確定目標的情況下,對目標在下一時刻的可能的位置進行估計,然後以這個估計的位置為中心,在一定的範圍內進行目標的搜尋,這樣就可以縮小目標的搜尋範圍,提高跟蹤速度.

 

 

 

 

1）最優（ optimal ）依賴於評價效能的判據。Kalman濾波器充分利用如下資訊估計感興趣變數當前取值：a.系統和測量裝置的動態特性；b.系統雜訊、測量誤差和動態模型的不確定性統計描述；c.感興趣變數的初始條件的相關資訊。（2）遞迴（ recursive ）是指kalman不需要儲存先前的資料，當進行新的測量時也不需要對原來資料進行處理。

（3）filter（DPA）實際上是資料處理演算法，只不過是計算中處理的程式，因此能處理離散時間測量樣本，而不是連續時間輸入。

•         基本假設

       採用線性模型是合理的；這是典型工程模型在某些主要點或軌跡是線性，線性模型比非線性模型更簡單。因此用線性模型來近似。

    白色雜訊意味著雜訊值和時間不相關；白色雜訊指在整個頻率上都有相同強度的頻率特性的雜訊。實際應用中將頻率設為常值，頻寬大大超過系統頻寬的雜訊稱為白色雜訊，用高斯白色雜訊來類比，可以大大簡化模型。

     採用高斯密度函數在實踐上是可行的。因為採用高斯函數在數學上容易處理。當缺少高階統計量時，除了假定高斯密度外，沒有更好的可以表示的函數形式。用一階和二階統計量完全可以描述高斯白色雜訊。